Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas:
- A função cuja limite se quer é
. - O ponto de aproximação é
. - O objetivo é encontrar o valor numérico do limite quando
tende a .
Passo 2
Entender o que nos permite calcular esse limite de forma direta. Uma ideia-chave (explicada de forma simples): se uma função é contínua no ponto em que nos aproximamos, então o limite quando
é simplesmente o valor da função no ponto, isto é,
Vou mostrar por que a função dada é contínua em
, sem formalismo excessivo: funções básicas como
e
são contínuas; somas, produtos e potências (ex.:
) de funções contínuas são contínuas. Como
é obtida combinando
e
por potências, produtos e soma,
é contínua em todo ponto do plano, inclusive em
.
Passo 3
Explicação didática do porquê das operações preservarem continuidade (para ficar claro na prova):
- A função identidade
é contínua; a função é contínua. - Se
e são contínuas, então e são contínuas (porque pequenas variações em causam pequenas variações em e , logo em suas soma e produto). - A função potência
é contínua em ; assim vista como função de (ignorando ) é contínua. - Portanto
e são contínuas, e sua soma com a constante permanece contínua.
Conclusão:é contínua em , então a maneira correta e rápida de achar o limite é avaliar em .
Passo 4
Aplicar a substituição direta (já justificada pela continuidade). Calcular cada termo em
:
Calcule em
:
Calcule
Calcule
em
:
A constante
permanece
.
Passo 5
Somar os termos obtidos: