\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}\left(x^{3} y+x y+2\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\bigl(x^{3}y + xy + 2\bigr).
Informações dadas:
  • A função cuja limite se quer é f(x,y)=x^{3}y + xy + 2.
  • O ponto de aproximação é (1,2).
  • O objetivo é encontrar o valor numérico do limite quando (x,y) tende a (1,2).

Passo 2

Entender o que nos permite calcular esse limite de forma direta. Uma ideia-chave (explicada de forma simples): se uma função é contínua no ponto em que nos aproximamos, então o limite quando (x,y)\to(a,b) é simplesmente o valor da função no ponto, isto é,
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Vou mostrar por que a função dada é contínua em (1,2), sem formalismo excessivo: funções básicas como x e y são contínuas; somas, produtos e potências (ex.: x^3) de funções contínuas são contínuas. Como f é obtida combinando x e y por potências, produtos e soma, f é contínua em todo ponto do plano, inclusive em (1,2).

Passo 3

Explicação didática do porquê das operações preservarem continuidade (para ficar claro na prova):
  • A função identidade g(x,y)=x é contínua; a função h(x,y)=y é contínua.
  • Se u e v são contínuas, então u+v e u\cdot v são contínuas (porque pequenas variações em x,y causam pequenas variações em u e v, logo em suas soma e produto).
  • A função potência x\mapsto x^3 é contínua em \mathbb{R}; assim x^3 vista como função de (x,y) (ignorando y) é contínua.
  • Portanto x^3\cdot y e x\cdot y são contínuas, e sua soma com a constante 2 permanece contínua.
    Conclusão: f(x,y)=x^{3}y+xy+2 é contínua em (1,2), então a maneira correta e rápida de achar o limite é avaliar f em (1,2).

Passo 4

Aplicar a substituição direta (já justificada pela continuidade). Calcular cada termo em (x,y)=(1,2):
Calcule x^{3}y em (1,2):
1^{3}\cdot 2 = 1\cdot 2 = 2.
Calcule xy em (1,2):
1\cdot 2 = 2.
A constante 2 permanece 2.

Passo 5

Somar os termos obtidos:
2 + 2 + 2 = 6.

Resposta

6

Exercícios relacionados