Seja o campo vetorial dado por F(x, y, z)=(y z)i+(x z)j+(x y+z z) k.
Use o resultado da letra (b) para calcular integralC F cdot d r ao longo de C ; onde C é o segmento de reta de (1,0,-2) a (4,6,3)

Passo 1

Estamos diante de um campo vetorial vec F(x,y,z) = (y z),hat i + (x z),hat j + (x y + z^2),hat k e queremos calcular integralC vec Fcdot dvec r no segmento de reta de (1,0,-2) até (4,6,3). Pelas instruções, sabemos que em (b) mostramos que vec F é conservativo e que existe uma função potencial phi tal que nablaphi = vec F.

Passo 2

Para encontrar a função potencial phi(x,y,z), integramos Fx = y z em relação a x:
phi(x,y,z) = integral y z ,dx = x y z + g(y,z)
Em seguida usamos Fy = x z para ver que
partialphipartial y = x z + partial gpartial y = x z implies partial gpartial y = 0 implies g = h(z)
Por fim, igualamos Fz = x y + z^2 a
partialphipartial z = x y + h'(z) = x y + z^2 implies h'(z) = z^2 implies h(z) = z^33 + C
Assim podemos tomar
phi(x,y,z) = x y z + z^33

Passo 3

Basta então usar a independência de caminho e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos:
integralC vec F cdot dvec r = phi(4,6,3) - phi(1,0,-2)
Calculamos
phi(4,6,3) = 4cdot6cdot3 + 3^33 = 72 + 9 = 81,
phi(1,0,-2) = 1cdot0cdot(-2) + (-2)^33 = 0 - 83 = -83
Fazendo a diferença,

Passo 4

final_answer

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