(4,0 pontos) Encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
f(x, y, z)=e^-x y z

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de f(x,y,z)=e^-xyz em relação a cada uma das variáveis. O conteúdo envolve a regra da cadeia aplicada a funções exponenciais, pois temos f(u)=e^u com u=-xyz.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, usamos a regra da cadeia: primeiro derivamos e^u em relação a u, obtendo e^u, e depois multiplicamos pela derivada de u=-xyz em relação a x, que é -yz. Assim,
partial fpartial x=e^ucdot(-yz)= -yz,e^-xyz

Passo 3

Para partial fpartial y, repetimos o mesmo raciocínio: derivada de e^u e^u e a derivada de u=-xyz em relação a y é -xz. Portanto,
partial fpartial y=e^ucdot(-xz)= -xz,e^-xyz

Passo 4

Finalmente, para partial fpartial z, derivamos e^u (dá e^u) e a derivada de u=-xyz em relação a z é -xy, logo
partial fpartial z=e^ucdot(-xy)= -xy,e^-xyz

Resposta

partial fpartial x = -y z,e^-x y z
partial fpartial y = -x z,e^-x y z
partial fpartial z = -x y,e^-x y z

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