(1,5 pts) Considere a função
f(x, y)= 2 x y^2(x-y^2)^2+2 x y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua na origem? f possui derivadas parciais em (0,0) ? Justifique com cálculos.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac2xy^2l(x - y^2r)^2 + 2xy^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede (i) verificar se f é contínua em (0,0), usando a definição
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0),
e (ii) calcular as derivadas parciais em (0,0) via
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h, partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k
]

Passo 2

Para testar continuidade, avalio lim f(x,y) em duas curvas:
1) Se y=0, então
f(x,0)=2xcdot0^2(x-0)^2+2xcdot0^2=0,
logo lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0.
2) Se x=y^2, então
f(y^2,y) =2,y^2,y^2l(y^2-y^2r)^2+2,y^2,y^2 =2y^40+2y^4=1,
logo lim(y^2,y)to(0,0)f(y^2,y)=1.

Passo 3

Como os limites por essas duas curvas são diferentes ( 0 e 1), concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe e, portanto, f não é contínua em (0,0).

Passo 4

Para a derivada parcial em x em (0,0):
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-0h =limhto00h=0,
porque f(h,0)=0 para todo h.

Passo 5

Para a derivada parcial em y em (0,0):
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto00k=0,
pois f(0,k)=0 para todo k.

Resposta

f não é contínua em (0,0).
As derivadas parciais existem em (0,0) e valem
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

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