(1,5 pts) Considere a função
f é contínua na origem?
f possui derivadas parciais em
(0,0) ? Justifique com cálculos.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (i) verificar se
f é contínua em
(0,0) , usando a definição
e (ii) calcular as derivadas parciais em
(0,0) via
]
Passo 2
Para testar continuidade, avalio
lim f(x,y) em duas curvas:
1 ) Se
y=0 , então
logo
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0 .
2 ) Se
x=y^2 , então
logo
lim(y^2,y)to(0,0)f(y^2,y)=1 .
Passo 3
Como os limites por essas duas curvas são diferentes (
0 e
1 ), concluímos que
não existe e, portanto,
f não é contínua em
(0,0) .
Passo 4
Para a derivada parcial em
x em
(0,0) :
porque
f(h,0)=0 para todo
h .
Passo 5
Para a derivada parcial em
y em
(0,0) :
pois
f(0,k)=0 para todo
k .
Resposta
As derivadas parciais existem em