Questao 04 (2,0) Resolva o seguinte problema:
x^prime & =x+y-z y^prime & =x-y-z Z^prime & =x-y-z x(0) & =1, y(0)=1, z(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou. A matéria aqui envolve sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x' = x + y - z y' = x - y - z z' = x - y - z x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 1

Passo 3

Agora, vamos organizar isso em forma matricial. A ideia é escrever o sistema como X' = AX, onde A é a matriz dos coeficientes e X é o vetor das incógnitas.
A = 1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 , X = x y z

Passo 4

Para resolver, precisamos encontrar os autovalores da matriz A. Isso é feito resolvendo o determinante det(A - lambda I) = 0.
det( 1-lambda & 1 & -1 1 & -1-lambda & -1 1 & -1 & -1-lambda ) = 0
Calculando o determinante, chegamos aos autovalores.

Passo 5

Depois de calcular, encontramos que os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = lambda3 = -1.

Passo 6

Agora, para cada autovalor, encontramos os autovetores correspondentes resolvendo (A - lambda I)v = 0.
Para lambda1 = 1:
0 & 1 & -1 1 & -2 & -1 1 & -1 & -2 v = 0
Um autovetor associado é v1 = 1 1 1.
Para lambda2 = lambda3 = -1:
Resolvendo, encontramos que os autovetores podem ser v2 = 1 0 0 e v3 = 0 1 -1.

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema fica:
X(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Substituindo os valores:
x(t) = C1 e^t + C2 y(t) = C1 e^t + C3 e^-t z(t) = C1 e^t - C3 e^-t

Passo 8

Por fim, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes C1, C2 e C3.
x(0) = C1 + C2 = 1 y(0) = C1 + C3 = 1 z(0) = C1 - C3 = 1
Resolvendo, encontramos C1 = 1, C2 = 0 e C3 = 0.

Resposta

A solução do sistema é:
x(t) = e^t y(t) = e^t z(t) = e^t

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