Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (1, pi, 0) x^4+y^2+z^3x^4+2 y^2+z

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite da função racional f(x,y,z)=x^4+y^2+z^3x^4+2y^2+z quando (x,y,z)to(1,pi,0). O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e vamos usar que, se o numerador e denominador são contínuos e o denominador não se anula no ponto, então o limite é dado pelo valor da função naquele ponto.

Passo 2

Observamos que tanto o numerador x^4+y^2+z^3 quanto o denominador x^4+2y^2+z são polinômios em x,y,z, logo contínuos em todo lugar. No ponto (1,pi,0) o denominador vale 1^4+2pi^2+0=1+2pi^2, que é diferente de zero. Portanto, podemos simplesmente substituir.

Passo 3

Substituindo x=1, y=pi e z=0 no numerador, obtemos 1^4+pi^2+0^3=1+pi^2. No denominador, fica 1^4+2pi^2+0=1+2pi^2. Assim o limite é a razão desses valores.

Resposta

1+pi^21+2pi^2

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