Use indução matemática para verificar a validade da fórmula do binômio (13) da Seção 3. Mais precisamente, observe que a fórmula é verdadeira se
. Em seguida, supondo que a fórmula seja válida com algum
, em que
denota algum número inteiro positivo, mostre que a fórmula é válida
.
Sugestão:
, escreva
e substitua
por
na última soma para obter
Finalmente, mostre que o lado direito dessa expressão é igual a
Sugestão:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão quer que a gente use indução matemática para provar que a fórmula do binômio está correta. Basicamente, a gente vai mostrar que a fórmula funciona para
e, depois, assumir que funciona para um número
qualquer, e então provar que ela também vale para
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre somatórios e coeficientes binomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula é verdadeira para
. A fórmula do binômio é:
Para
:
E o somatório:
Então, está certo para
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, queremos mostrar que isso implica que a fórmula também vale para
.
Passo 4
Vamos calcular
usando a hipótese de indução:
Substituindo pela hipótese de indução:
Passo 5
Agora, vamos distribuir
dentro do somatório:
Aqui, a gente basicamente multiplicou
e
por cada termo do somatório.
Passo 6
Agora, vamos ajustar o índice da segunda soma. Substituímos
por
na segunda soma:
Dessa forma, as potências de
e
ficam alinhadas para combinarmos os coeficientes binomiais.
Passo 7
Agora, juntamos as duas somas:
Aqui, os termos
e
aparecem separados.
Passo 8
Sabemos que:
Esse é o teorema de Pascal para coeficientes binomiais. Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 9
Finalmente, percebemos que podemos escrever isso como um único somatório que vai de
até
:
Isso mostra que a fórmula do binômio é válida para
, completando assim a indução.
Resposta
Portanto, usando indução matemática, demonstramos que a fórmula do binômio é válida para todo número inteiro positivo
. Ou seja,