Use indução matemática para verificar a validade da fórmula do binômio (13) da Seção 3. Mais precisamente, observe que a fórmula é verdadeira se n=1. Em seguida, supondo que a fórmula seja válida com algum n=m, em que m denota algum número inteiro positivo, mostre que a fórmula é válida com n=m+1.
Sugestão: com n=m+1, escreva
(z1+z2)^m+1 & =(z1+z2)(z1+z2)^m=(z2+z1) sumk=0^mbinommk z1^k z2^m-k & =sumk=0^mbinommk z1^k z2^m+1-k+sumk=0^mbinommk z1^k+1 z2^m-k
e substitua k por k-1 na última soma para obter
(z1+z2)^m+1=z2^m+1+sumk=1^m[binommk+binommk-1] z1^k z2^m+1-k+z1^m+1
Finalmente, mostre que o lado direito dessa expressão é igual a
z2^m+1+sumk=1^mbinomm+1k z1^k z2^m+1-k+z1^m+1=sumk=0^m+1binomm+1k z1^k z2^m+1-k

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão quer que a gente use indução matemática para provar que a fórmula do binômio está correta. Basicamente, a gente vai mostrar que a fórmula funciona para e, depois, assumir que funciona para um número qualquer, e então provar que ela também vale para . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre somatórios e coeficientes binomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula é verdadeira para (z1 + z2)^n = sumk=0^n binomnk z1^k z2^n - k . A fórmula do binômio é:
(z1 + z2)^1 = z1 + z2
Para sumk=0^1 binom1k z1^k z2^1 - k = binom10 z1^0 z2^1 + binom11 z1^1 z2^0 = 1 cdot z2 + 1 cdot z1 = z1 + z2 :
E o somatório:
Então, está certo para .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para (z1 + z2)^m = sumk=0^m binommk z1^k z2^m - k , ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, queremos mostrar que isso implica que a fórmula também vale para .

Passo 4

Vamos calcular (z1 + z2)^m + 1 = (z1 + z2)(z1 + z2)^m usando a hipótese de indução:
= (z1 + z2) sumk=0^m binommk z1^k z2^m - k
Substituindo pela hipótese de indução:

Passo 5

Agora, vamos distribuir = sumk=0^m binommk z1^k z2^m + 1 - k + sumk=0^m binommk z1^k + 1 z2^m - k dentro do somatório:
Aqui, a gente basicamente multiplicou e por cada termo do somatório.

Passo 6

Agora, vamos ajustar o índice da segunda soma. Substituímos = sumk=0^m binommk z1^k z2^m + 1 - k + sumk=1^m + 1 binommk - 1 z1^k z2^m + 1 - k por na segunda soma:
Dessa forma, as potências de e ficam alinhadas para combinarmos os coeficientes binomiais.

Passo 7

Agora, juntamos as duas somas:
(z1 + z2)^m + 1 = z2^m + 1 + sumk=1^m [ binommk + binommk - 1 ] z1^k z2^m + 1 - k + z1^m + 1
Aqui, os termos e aparecem separados.

Passo 8

Sabemos que:
binommk + binommk - 1 = binomm + 1k
Esse é o teorema de Pascal para coeficientes binomiais. Aplicando isso na nossa expressão:
(z1 + z2)^m + 1 = z2^m + 1 + sumk=1^m binomm + 1k z1^k z2^m + 1 - k + z1^m + 1

Passo 9

Finalmente, percebemos que podemos escrever isso como um único somatório que vai de (z1 + z2)^m + 1 = sumk=0^m + 1 binomm + 1k z1^k z2^m + 1 - k até :
Isso mostra que a fórmula do binômio é válida para , completando assim a indução.

Resposta

Portanto, usando indução matemática, demonstramos que a fórmula do binômio é válida para todo número inteiro positivo (z1 + z2)^n = sumk=0^n binomnk z1^k z2^n - k . Ou seja,

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