(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite existe se, independentemente do caminho que a gente escolher para chegar ao ponto
, a função se aproxima do mesmo valor. Então, se encontrarmos diferentes valores ao seguir caminhos diferentes, o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar analisando alguns caminhos simples:
Caminho 1: y = 0
Substituindo
por
na função:
À medida que
se aproxima de
,
tende ao infinito (positivamente se
vem de valores positivos e negativamente se vem de valores negativos). Portanto, ao seguir o caminho
, o limite tende ao infinito.
Passo 4
Caminho 2: x = 0
Agora, substituindo
por
:
Assim como no caminho anterior, quando
se aproxima de
,
também tende ao infinito (positivamente ou negativamente, dependendo da direção). Portanto, pelo caminho
, o limite também tende ao infinito.
Passo 5
Caminho 3: y = kx
Vamos generalizar e escolher um caminho onde
é uma constante múltiplo de
, ou seja,
, onde
é um número real qualquer.
Substituindo
por
na função:
Novamente, quando
se aproxima de
, essa expressão tende ao infinito.
Passo 6
Observamos que, independentemente do caminho escolhido (seja
,
ou qualquer linha reta
), o limite tende ao infinito. Isso sugere que a função cresce sem limites à medida que nos aproximamos de
.
Resposta
Portanto, o limite
não existe porque a função tende ao infinito ao se aproximar de
por diferentes caminhos.