(b) lim (x, y) (0,0) x+y2 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função x+y2x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite existe se, independentemente do caminho que a gente escolher para chegar ao ponto (0,0), a função se aproxima do mesmo valor. Então, se encontrarmos diferentes valores ao seguir caminhos diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando alguns caminhos simples:
Caminho 1: y = 0
Substituindo y por 0 na função:
x + 02x^2 + 0^2 = x2x^2 = 12x
À medida que x se aproxima de 0, 12x tende ao infinito (positivamente se x vem de valores positivos e negativamente se vem de valores negativos). Portanto, ao seguir o caminho y = 0, o limite tende ao infinito.

Passo 4

Caminho 2: x = 0
Agora, substituindo x por 0:
0 + y2 cdot 0^2 + y^2 = yy^2 = 1y
Assim como no caminho anterior, quando y se aproxima de 0, 1y também tende ao infinito (positivamente ou negativamente, dependendo da direção). Portanto, pelo caminho x = 0, o limite também tende ao infinito.

Passo 5

Caminho 3: y = kx
Vamos generalizar e escolher um caminho onde y é uma constante múltiplo de x, ou seja, y = kx, onde k é um número real qualquer.
Substituindo y por kx na função:
x + kx2x^2 + (kx)^2 = x(1 + k)2x^2 + k^2x^2 = (1 + k)2x + k^2x = 1 + kx(2 + k^2)
Novamente, quando x se aproxima de 0, essa expressão tende ao infinito.

Passo 6

Observamos que, independentemente do caminho escolhido (seja y=0, x=0 ou qualquer linha reta y=kx), o limite tende ao infinito. Isso sugere que a função cresce sem limites à medida que nos aproximamos de (0,0).

Resposta

Portanto, o limite lim (x, y) (0,0) x+y2 x^2+y^2 não existe porque a função tende ao infinito ao se aproximar de (0,0) por diferentes caminhos.

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