Exercício 5. Sejam
funções contínua. Use o exercício anterior para concluir que o conjunto
é fechado.
Passo 1
O enunciado dá duas funções contínuas
e define o conjunto
A pergunta é: provar que o conjunto
é fechado.
Informações relevantes fornecidas: e
são contínuas em todo
. Não há outras hipóteses nem figuras.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Transformar o problema para uma forma mais conveniente. Defino a função
Observe que a igualdade
é equivalente a
. Assim podemos reescrever
ou seja,
é o conjunto de zeros da função
. Esta reescrita é útil porque o enunciado anterior (o “exercício anterior”) trata exatamente de conjuntos do tipo zero de funções contínuas.
Passo 3
Mostrar que
é contínua. Vou explicar por que a diferença de duas funções contínuas é contínua, passo a passo e sem pular etapas. Seja
. Como
é contínua em
, temos
Como
é contínua em
, temos
A propriedade básica de limites que usamos (que você pode justificar com uma prova
-
se quiser) é que o limite da diferença é a diferença dos limites. Logo
Como isso vale para todo
, concluímos que
é contínua em todo
.
Passo 4
Usar o resultado do exercício anterior. O enunciado pediu explicitamente que a gente use o exercício anterior; esse exercício (que assumimos já provado) afirma que: se uma função
é contínua, então o conjunto
é fechado. Vou lembrar rapidamente a ideia da prova desse fato (porque entender a prova te ajuda a aplicar o resultado na prova): se
é contínua e
é ponto com
, então
e pela continuidade existe um intervalo em torno de
onde
mantém o mesmo sinal e, em particular,
. Isso mostra que o complemento de
é aberto, logo
é fechado.
Passo 5
Aplicar o resultado ao nosso
. Como demonstramos no Passo 3 que
é contínua, podemos aplicar o resultado do exercício anterior ao conjunto de zeros de
. Logo
é fechado. Mas pelo Passo 2 esse conjunto é exatamente
. Portanto
é fechado.
Passo 6
Breve recapitulação prática para a hora da prova (o que escrever de forma curta): definir
, observar que
, notar que
é contínua (diferença de contínuas) e aplicar o resultado de que pré-imagem de conjunto fechado por função contínua é fechada (ou o fato específico do exercício anterior: conjunto de zeros é fechado). Assim fecha-se a prova.
Resposta
O conjunto
é fechado.