Exercício 5. Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções contínua. Use o exercício anterior para concluir que o conjunto
C(f, g)=\{x \in \mathbb{R} ; f(x)=g(x)\}
é fechado.

Passo 1

O enunciado dá duas funções contínuas f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e define o conjunto
C(f,g)=\{x\in\mathbb{R}\;|\;f(x)=g(x)\}.
A pergunta é: provar que o conjunto C(f,g) é fechado.
Informações relevantes fornecidas: f e g são contínuas em todo \mathbb{R}. Não há outras hipóteses nem figuras.

Passo 2

Transformar o problema para uma forma mais conveniente. Defino a função
h:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad h(x)=f(x)-g(x).
Observe que a igualdade f(x)=g(x) é equivalente a h(x)=0. Assim podemos reescrever
C(f,g)=\{x\in\mathbb{R}\;|\;h(x)=0\},
ou seja, C(f,g) é o conjunto de zeros da função h. Esta reescrita é útil porque o enunciado anterior (o “exercício anterior”) trata exatamente de conjuntos do tipo zero de funções contínuas.

Passo 3

Mostrar que h é contínua. Vou explicar por que a diferença de duas funções contínuas é contínua, passo a passo e sem pular etapas. Seja a\in\mathbb{R}. Como f é contínua em a, temos
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Como g é contínua em a, temos
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
A propriedade básica de limites que usamos (que você pode justificar com uma prova \varepsilon- \delta se quiser) é que o limite da diferença é a diferença dos limites. Logo
\lim_{x\to a} h(x)=\lim_{x\to a} (f(x)-g(x))=\lim_{x\to a} f(x) - \lim_{x\to a} g(x)=f(a)-g(a)=h(a).
Como isso vale para todo a\in\mathbb{R}, concluímos que h é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Usar o resultado do exercício anterior. O enunciado pediu explicitamente que a gente use o exercício anterior; esse exercício (que assumimos já provado) afirma que: se uma função k:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua, então o conjunto
Z(k)=\{x\in\mathbb{R}\;|\;k(x)=0\}
é fechado. Vou lembrar rapidamente a ideia da prova desse fato (porque entender a prova te ajuda a aplicar o resultado na prova): se k é contínua e a é ponto com k(a)\neq 0, então |k(a)|>0 e pela continuidade existe um intervalo em torno de a onde k mantém o mesmo sinal e, em particular, |k(x)|>\tfrac{1}{2}|k(a)|>0. Isso mostra que o complemento de Z(k) é aberto, logo Z(k) é fechado.

Passo 5

Aplicar o resultado ao nosso h. Como demonstramos no Passo 3 que h é contínua, podemos aplicar o resultado do exercício anterior ao conjunto de zeros de h. Logo
\{x\in\mathbb{R}\;|\;h(x)=0\}
é fechado. Mas pelo Passo 2 esse conjunto é exatamente C(f,g). Portanto C(f,g) é fechado.

Passo 6

Breve recapitulação prática para a hora da prova (o que escrever de forma curta): definir h=f-g, observar que C(f,g)=h^{-1}(\{0\}), notar que h é contínua (diferença de contínuas) e aplicar o resultado de que pré-imagem de conjunto fechado por função contínua é fechada (ou o fato específico do exercício anterior: conjunto de zeros é fechado). Assim fecha-se a prova.

Resposta

O conjunto C(f,g)=\{x\in\mathbb{R}\;|\;f(x)=g(x)\} é fechado.

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