Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Calcule o limite lateral à esquerda e identifique a assíntota vertical:
\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \frac{-x}{(x+2)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o limite lateral à esquerda
\lim_{x\rightarrow -2^{-}} \frac{-x}{(x+2)^{3}}
e identificar se há assíntota vertical (e qual é). Informação dada importante: a expressão tem denominador (x+2)^{3}, que fica zero em x=-2, logo a função não está definida em x=-2 e precisamos analisar o comportamento quando x se aproxima de -2 pela esquerda.

Passo 2

Estratégia prática (fácil de aplicar na prova): fazemos uma mudança de variável que deixa claro o que significa “aproximar-se de -2 pela esquerda”. Defina
h = x+2.
Quando x \rightarrow -2^{-}, temos h \rightarrow 0^{-} (ou seja, h tende a zero vindo de valores negativos). Vamos reescrever a função em termos de h.

Passo 3

Expresse x e o numerador usando h. Como x = h-2, o numerador fica
-x = -(h-2) = 2 - h.
Substituindo na expressão original obtemos
\frac{-x}{(x+2)^{3}} = \frac{2 - h}{h^{3}}.

Passo 4

Agora analiso o sinal e a magnitude quando h \rightarrow 0^{-}.
  • O numerador 2-h tende para 2, que é positivo.
  • O denominador h^{3}: como h é negativo pequeno, h^{3} também é negativo e tende a 0 com sinal negativo (porque potência ímpar preserva o sinal).
    Portanto estamos dividindo algo que tende a um número positivo ( \approx 2) por um número que tende a zero com sinal negativo. Isso faz o quociente ficar com grande magnitude e sinal negativo.

Passo 5

Conclusão do limite: por causa do argumento do passo anterior, a fração fica cada vez mais negativa em magnitude crescente quando x se aproxima de -2 pela esquerda. Logo
\lim_{x\rightarrow -2^{-}} \frac{-x}{(x+2)^{3}} = -\infty.

Passo 6

Critério de assíntota vertical (aula rápida): se pelo menos uma das limites laterais de f(x) em x=a é +\infty ou -\infty, então a reta x=a é uma assíntota vertical da curva y=f(x). Aqui vimos que o limite lateral à esquerda diverge para -\infty, portanto x=-2 é assíntota vertical. (Dica rápida: para a direita, usando o mesmo raciocínio, o denominador mudaria de sinal e o limite à direita seria +\infty; isso reforça a ideia de assíntota.)

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2^{-}} \frac{-x}{(x+2)^{3}} = -\infty
Assíntota vertical: x=-2

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