Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Calcule o limite a seguir. (Lembre-se que
quando
).
Calcule o limite a seguir. (Lembre-se que
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite unidirecional:
Informações dadas e observações imediatas que podemos listar sem resolver ainda:
- A função envolvida é
. - O limite é pela direita de
(ou seja, aproxima-se de com ). - Foi lembrado que
quando . - Para
, o número é negativo; quando se aproxima de por valores maiores, tende a por valores negativos (ou seja, tende a ).
A partir daqui começamos a trabalhar o limite.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do expoente por uma mudança de variável que deixa o comportamento mais claro. Defina
Explico por que essa substituição é útil: ao estudar limites envolvendo exponenciais é comum analisar o comportamento do expoente (aqui
), porque o valor de
depende só do limite de
.
Passo 3
Agora investigamos o que acontece com
quando
.
- Se
, então e é um número negativo que tende para . Em símbolos: . - Quando um denominador tende a
por valores negativos, a fração tende para . Portanto:
Um exemplo numérico rápido para intuir: se
então
e
; se
então
; quanto mais próximo de
vindo da direita, mais negativo e de maior magnitude fica
.
Passo 4
Usamos a informação conhecida sobre a função exponencial: quando
temos
. Aplicando isso à nossa substituição:
Voltando à variável original
, isso significa exatamente que
Passo 5
Algumas observações didáticas e intuitivas que ajudam na prova:
- A função
é sempre positiva para todo . Quando é um número muito negativo, é um número positivo muito pequeno (tende a pela direita). Assim o limite que encontramos é por valores positivos, às vezes escrito . - Alternativa de escrita do expoente:
. Para temos , então , o que leva à mesma conclusão. - Para reforçar a intuição com um exemplo parecido:
porque ; já porque . A regra é: exponencial de algo que vai a vai a .