Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Calcule o limite a seguir. (Lembre-se que e^{t} \rightarrow 0 quando t \rightarrow-\infty ).
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} e^{\frac{1}{1-x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite unidirecional:
\lim_{x\to 1^{+}} e^{\frac{1}{1-x}}.
Informações dadas e observações imediatas que podemos listar sem resolver ainda:
  • A função envolvida é e^{\frac{1}{1-x}}.
  • O limite é pela direita de x=1 (ou seja, x aproxima-se de 1 com x>1).
  • Foi lembrado que e^{t}\to 0 quando t\to -\infty.
  • Para x>1, o número 1-x é negativo; quando x se aproxima de 1 por valores maiores, 1-x tende a 0 por valores negativos (ou seja, tende a 0^{-}).
    A partir daqui começamos a trabalhar o limite.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do expoente por uma mudança de variável que deixa o comportamento mais claro. Defina
t=\frac{1}{1-x}.
Explico por que essa substituição é útil: ao estudar limites envolvendo exponenciais é comum analisar o comportamento do expoente (aqui t), porque o valor de e^{t} depende só do limite de t.

Passo 3

Agora investigamos o que acontece com t quando x\to 1^{+}.
  • Se x\to 1^{+}, então x>1 e 1-x é um número negativo que tende para 0. Em símbolos: 1-x\to 0^{-}.
  • Quando um denominador tende a 0 por valores negativos, a fração \frac{1}{1-x} tende para -\infty. Portanto:
\text{quando }x\to 1^{+}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{1-x}\to -\infty.
Um exemplo numérico rápido para intuir: se x=1{,}1 então 1-x=-0{,}1 e t=-10; se x=1{,}01 então t=-100; quanto mais próximo de 1 vindo da direita, mais negativo e de maior magnitude fica t.

Passo 4

Usamos a informação conhecida sobre a função exponencial: quando t\to -\infty temos e^{t}\to 0. Aplicando isso à nossa substituição:
t=\frac{1}{1-x}\to -\infty\quad\Rightarrow\quad e^{t}\to 0.
Voltando à variável original x, isso significa exatamente que
e^{\frac{1}{1-x}}\to 0\quad\text{quando }x\to 1^{+}.

Passo 5

Algumas observações didáticas e intuitivas que ajudam na prova:
  • A função e^{u} é sempre positiva para todo u. Quando u é um número muito negativo, e^{u} é um número positivo muito pequeno (tende a 0 pela direita). Assim o limite que encontramos é 0 por valores positivos, às vezes escrito \,0^{+}.
  • Alternativa de escrita do expoente: \frac{1}{1-x}=-\frac{1}{x-1}. Para x\to 1^{+} temos x-1\to 0^{+}, então -\frac{1}{x-1}\to -\infty, o que leva à mesma conclusão.
  • Para reforçar a intuição com um exemplo parecido: \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} e^{1/x}=+\infty porque 1/x\to +\infty; já \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} e^{1/x}=0 porque 1/x\to -\infty. A regra é: exponencial de algo que vai a -\infty vai a 0.

Resposta

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