Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Calcule o limite no ponto x=0.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite no ponto x=0 da função
\frac{3}{x^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \dfrac{3}{x^{2}}.
  • O ponto onde queremos o limite é x=0.
  • Note que a função não está definida em x=0 porque o denominador x^{2} seria zero.
    Nada mais será resolvido neste passo; aqui só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Entendendo o comportamento geral da função perto de x=0 (aula rápida):
  • Para qualquer x\neq 0 temos x^{2}>0. Isso significa que o denominador é sempre positivo quando x é diferente de 0.
  • O numerador é a constante 3, que também é positiva.
  • Quando x se aproxima de 0, o valor de x^{2} fica cada vez menor (tende a 0 por valores positivos), então dividir 3 por um número cada vez menor e positivo faz com que o quociente cresça e cresça.
  • Intuição com um exemplo numérico: se x=0{,}1 então \dfrac{3}{x^{2}}=\dfrac{3}{0{,}01}=300; se x=0{,}01 então \dfrac{3}{x^{2}}=\dfrac{3}{0{,}0001}=30\,000. Vê como o valor explode conforme x se aproxima de 0?

Passo 3

Prova formal (no estilo “para todo M>0 existe \delta>0 tal que…”) para mostrar que a função cresce além de qualquer limite positivo perto de 0:
  • Seja um número arbitrário M>0. Queremos mostrar que existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x|<\delta, então \dfrac{3}{x^{2}}>M.
  • Escolhemos \delta de forma conveniente. A desigualdade \dfrac{3}{x^{2}}>M é equivalente a x^{2}<\dfrac{3}{M}, desde que x\neq 0.
  • Assim, se tomarmos \delta=\sqrt{\dfrac{3}{M}},então para todo x com 0<|x|<\delta temos x^{2}<\delta^{2}=\dfrac{3}{M}, e portanto \frac{3}{x^{2}}>M.
  • Isso mostra exatamente que, ao nos aproximarmos de 0 (mas sem ser o próprio 0), os valores de \dfrac{3}{x^{2}} ultrapassam qualquer número M escolhido. Em linguagem de limites, a função cresce sem limite positivo ao aproximar-se de 0.

Passo 4

Interpretação final e ligação com assíntota vertical:
  • O resultado do passo anterior significa que a função não tem limite finito em x=0; ao invés disso, os valores sobem sem controle e ficam arbitrariamente grandes e positivos quando x se aproxima de 0.
  • Geometricamente, isso corresponde a uma assíntota vertical em x=0: o gráfico da função vai para cima sem limite ao se aproximar verticalmente desse ponto.

Resposta

+\infty

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