Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Calcule o limite no ponto
.
Calcule o limite no ponto
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite no ponto
da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto onde queremos o limite é
. - Note que a função não está definida em
porque o denominador seria zero.
Nada mais será resolvido neste passo; aqui só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Entendendo o comportamento geral da função perto de
(aula rápida):
- Para qualquer
temos . Isso significa que o denominador é sempre positivo quando é diferente de . - O numerador é a constante
, que também é positiva. - Quando
se aproxima de , o valor de fica cada vez menor (tende a por valores positivos), então dividir por um número cada vez menor e positivo faz com que o quociente cresça e cresça. - Intuição com um exemplo numérico: se
então ; se então . Vê como o valor explode conforme se aproxima de ?
Passo 3
Prova formal (no estilo “para todo
existe
tal que…”) para mostrar que a função cresce além de qualquer limite positivo perto de
:
- Seja um número arbitrário
. Queremos mostrar que existe tal que, sempre que , então . - Escolhemos
de forma conveniente. A desigualdade é equivalente a , desde que . - Assim, se tomarmos
então para todo com temos , e portanto - Isso mostra exatamente que, ao nos aproximarmos de
(mas sem ser o próprio ), os valores de ultrapassam qualquer número escolhido. Em linguagem de limites, a função cresce sem limite positivo ao aproximar-se de .
Passo 4
Interpretação final e ligação com assíntota vertical:
- O resultado do passo anterior significa que a função não tem limite finito em
; ao invés disso, os valores sobem sem controle e ficam arbitrariamente grandes e positivos quando se aproxima de . - Geometricamente, isso corresponde a uma assíntota vertical em
: o gráfico da função vai para cima sem limite ao se aproximar verticalmente desse ponto.