Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Considere a função f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2 x-3}.
i) Fatore o denominador e encontre os pontos que anulam o denominador.
ii) Faça o quadro de sinal da função, isto é, determine onde a função é positiva, negativa, nula e onde não está definida.
iii) Calcule o limite lateral à direita em x=-3 :
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x-3}
e pede três coisas:
  1. (i) Fatore o denominador e encontre os pontos que anulam o denominador.
  2. (ii) Faça o quadro de sinal da função: determine onde f(x) é positiva, negativa, onde é nula e onde não está definida.
  3. (iii) Calcule o limite lateral à direita em x=-3:
\lim_{x\to-3^{+}} f(x).
As informações relevantes que temos são a expressão de f(x) acima; não há outras figuras ou dados extras.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador passo a passo, com explicação do método.
Primeiro o numerador x^{2}-1. Este é um caso clássico chamado diferença de quadrados, porque
x^{2}-1=(x)^{2}-(1)^{2}.
A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
portanto
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Agora o denominador x^{2}+2x-3. Para fatorar um polinômio quadrático x^{2}+bx+c procuramos dois números cuja soma é b e cujo produto é c. Aqui precisamos de dois números que somem 2 e cujo produto seja -3. Esses números são 3 e -1, porque 3+(-1)=2 e 3\cdot(-1)=-3. Então
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
Portanto a função fica
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+3)(x-1)}.
Os pontos que anulam o denominador original são as soluções de x^{2}+2x-3=0, isto é, x=-3 e x=1.

Passo 3

Observe que o fator (x-1) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Quando um mesmo fator está em cima e embaixo, podemos simplificá-lo algebraicamente para obter a forma reduzida válida para x onde o fator não anula o denominador. Assim, para x\neq1 e x\neq-3 temos
f(x)=\frac{x+1}{x+3}.
É importante esclarecer o significado da simplificação:
  • Em termos algébricos, a expressão \dfrac{x+1}{x+3} descreve o mesmo valor de f(x) para todo x diferente de 1 e -3.
  • Em termos de continuidade/descontinuidade: em x=1 tanto numerador quanto denominador originais eram zero, então há uma descontinuidade removível (um “furo” ou “hole”) em x=1. Em x=-3 o denominador é zero enquanto o numerador original vale (-3)^2-1=8\neq0, logo é uma descontinuidade não removível — uma assíntota vertical possível.
Vou explicar patinhos: “descontinuidade removível” significa que a função original não está definida ali, mas se definíssemos o valor igual ao limite com a forma reduzida, ficaríamos com uma função contínua; “assíntota vertical” ocorre quando a função cresce em módulo sem limite quando nos aproximamos do ponto onde o denominador zera e o numerador não zera.

Passo 4

Para construir o quadro de sinais identificamos os pontos críticos (zeros do numerador ou zeros do denominador) e os ordenamos na reta real. Dos fatores que restaram (após análise), os pontos críticos são:
x=-3,\quad x=-1,\quad x=1.
  • x=-1 vem de x+1=0 (zero do numerador), então f(-1)=0 (pois denominador em -1 não é zero: -1+3=2).
  • x=1 veio de (x-1) que cancelou; a função original não está definida em x=1 (furo removível).
  • x=-3 é zero do denominador da forma reduzida, e o numerador original não é zero ali, então é ponto onde a função não está definida e temos uma assíntota vertical.
Agora vamos analisar o sinal da função em cada intervalo determinado por esses pontos:
intervalos: (-\infty,-3),\;(-3,-1),\;(-1,1),\;(1,\infty).

Passo 5

Para cada intervalo escolho um ponto testes e uso a forma reduzida \dfrac{x+1}{x+3} (válida para esses pontos testados porque evitamos x=1,-3).
  1. Intervalo (-\infty,-3). Ponto teste x=-4.
x+1=-4+1=-3\;(\text{negativo}),\qquad x+3=-4+3=-1\;(\text{negativo}).
Quociente: \dfrac{\text{negativo}}{\text{negativo}}=\text{positivo}. Portanto f(x)>0 em (-\infty,-3).
  1. Intervalo (-3,-1). Ponto teste x=-2.
x+1=-2+1=-1\;(\text{negativo}),\qquad x+3=-2+3=1\;(\text{positivo}).
Quociente: \dfrac{\text{negativo}}{\text{positivo}}=\text{negativo}. Portanto f(x)<0 em (-3,-1).
  1. Intervalo (-1,1). Ponto teste x=0.
x+1=1\;(\text{positivo}),\qquad x+3=3\;(\text{positivo}).
Quociente: positivo. Portanto f(x)>0 em (-1,1).
  1. Intervalo (1,\infty). Ponto teste x=2.
x+1=3\;(\text{positivo}),\qquad x+3=5\;(\text{positivo}).
Quociente: positivo. Portanto f(x)>0 em (1,\infty).
Observação sobre o sinal em x=1: como vimos, à esquerda de 1 (por exemplo em 0{,}5) e à direita de 1 (por exemplo em 2) o sinal é positivo; portanto o sinal não muda ao atravessar x=1 — isso é consistente com o fato de o fator (x-1) ter sido cancelado (descontinuidade removível que não altera o sinal da função nos lados).

Passo 6

Resumindo o quadro de sinais e as propriedades:
  • Zeros do numerador: x=-1. Logo f(-1)=0.
  • Pontos onde a função não está definida: x=1 (descontinuidade removível, “furo”) e x=-3 (denominador zero sem cancelamento → assíntota vertical).
  • Sinal da função:
    • f(x)>0 para x\in(-\infty,-3).
    • f(x)<0 para x\in(-3,-1).
    • f(x)>0 para x\in(-1,1).
    • f(x)>0 para x\in(1,\infty).
      Em notação de união de intervalos: f(x)>0 em (-\infty,-3)\cup(-1,1)\cup(1,\infty) e f(x)<0 em (-3,-1). A função é nula em x=-1 e indefinida em x=1 e x=-3.

Passo 7

Agora calculamos o limite lateral pedido:
\lim_{x\to-3^{+}} f(x).
Perto de x=-3 podemos usar a forma reduzida \dfrac{x+1}{x+3} para avaliar o comportamento, porque o cancelamento não envolve x=-3. Considere x=-3+\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno (isso é justamente a noção de x\to-3^{+}, aproximando por valores maiores que -3). Então
x+1 = -3+\varepsilon+1 = -2+\varepsilon,
que para \varepsilon pequeno é aproximadamente -2 (portanto negativo). E
x+3 = -3+\varepsilon+3 = \varepsilon,
que é um número positivo muito pequeno (tende a 0^{+} quando \varepsilon\to0^{+}).
Logo a fração
\frac{x+1}{x+3}\approx\frac{-2+\varepsilon}{\varepsilon}
é um número negativo cujo módulo cresce sem limite quando \varepsilon\to0^{+} (porque dividimos um número aproximadamente constante -2 por algo que vai para zero positivo). Portanto a expressão tende a -\infty.
Formalizando:
\lim_{x\to-3^{+}} f(x)= -\infty.

Resposta

i) x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1). O denominador anula-se em x=-3 e x=1.\n
ii) f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+3)(x-1)} (simplificando para x\neq1 obtém-se \dfrac{x+1}{x+3}). f(x)>0 em (-\infty,-3)\cup(-1,1)\cup(1,\infty); f(x)<0 em (-3,-1); f(-1)=0; f não está definida em x=1 (descontinuidade removível) e em x=-3 (assíntota vertical).\n
iii) \displaystyle \lim_{x\to-3^{+}} f(x)=-\infty.

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