Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Considere a função
.
i) Fatore o denominador e encontre os pontos que anulam o denominador.
ii) Faça o quadro de sinal da função, isto é, determine onde a função é positiva, negativa, nula e onde não está definida.
iii) Calcule o limite lateral à direita em
:
Considere a função
i) Fatore o denominador e encontre os pontos que anulam o denominador.
ii) Faça o quadro de sinal da função, isto é, determine onde a função é positiva, negativa, nula e onde não está definida.
iii) Calcule o limite lateral à direita em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (i) Fatore o denominador e encontre os pontos que anulam o denominador.
- (ii) Faça o quadro de sinal da função: determine onde
é positiva, negativa, onde é nula e onde não está definida. - (iii) Calcule o limite lateral à direita em
:
As informações relevantes que temos são a expressão de
acima; não há outras figuras ou dados extras.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador passo a passo, com explicação do método.
Primeiro o numerador
. Este é um caso clássico chamado diferença de quadrados, porque
A fórmula da diferença de quadrados é
portanto
Agora o denominador
. Para fatorar um polinômio quadrático
procuramos dois números cuja soma é
e cujo produto é
. Aqui precisamos de dois números que somem
e cujo produto seja
. Esses números são
e
, porque
e
. Então
Portanto a função fica
Os pontos que anulam o denominador original são as soluções de
, isto é,
e
.
Passo 3
Observe que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Quando um mesmo fator está em cima e embaixo, podemos simplificá-lo algebraicamente para obter a forma reduzida válida para
onde o fator não anula o denominador. Assim, para
e
temos
É importante esclarecer o significado da simplificação:
- Em termos algébricos, a expressão
descreve o mesmo valor de para todo diferente de e . - Em termos de continuidade/descontinuidade: em
tanto numerador quanto denominador originais eram zero, então há uma descontinuidade removível (um “furo” ou “hole”) em . Em o denominador é zero enquanto o numerador original vale , logo é uma descontinuidade não removível — uma assíntota vertical possível.
Vou explicar patinhos: “descontinuidade removível” significa que a função original não está definida ali, mas se definíssemos o valor igual ao limite com a forma reduzida, ficaríamos com uma função contínua; “assíntota vertical” ocorre quando a função cresce em módulo sem limite quando nos aproximamos do ponto onde o denominador zera e o numerador não zera.
Passo 4
Para construir o quadro de sinais identificamos os pontos críticos (zeros do numerador ou zeros do denominador) e os ordenamos na reta real. Dos fatores que restaram (após análise), os pontos críticos são:
-
vem de (zero do numerador), então (pois denominador em não é zero: ). -
veio de que cancelou; a função original não está definida em (furo removível). -
é zero do denominador da forma reduzida, e o numerador original não é zero ali, então é ponto onde a função não está definida e temos uma assíntota vertical.
Agora vamos analisar o sinal da função em cada intervalo determinado por esses pontos:
intervalos: .
intervalos:
Passo 5
Para cada intervalo escolho um ponto testes e uso a forma reduzida
(válida para esses pontos testados porque evitamos
).
- Intervalo
. Ponto teste .
Quociente:
. Portanto
em
.
- Intervalo
. Ponto teste .
Quociente:
. Portanto
em
.
- Intervalo
. Ponto teste .
Quociente: positivo. Portanto
em
.
- Intervalo
. Ponto teste .
Quociente: positivo. Portanto
em
.
Observação sobre o sinal em
: como vimos, à esquerda de
(por exemplo em
) e à direita de
(por exemplo em
) o sinal é positivo; portanto o sinal não muda ao atravessar
— isso é consistente com o fato de o fator
ter sido cancelado (descontinuidade removível que não altera o sinal da função nos lados).
Passo 6
Resumindo o quadro de sinais e as propriedades:
- Zeros do numerador:
. Logo . - Pontos onde a função não está definida:
(descontinuidade removível, “furo”) e (denominador zero sem cancelamento → assíntota vertical). - Sinal da função:
-
para . -
para . -
para . -
para .
Em notação de união de intervalos:em e em . A função é nula em e indefinida em e .
-
Passo 7
Agora calculamos o limite lateral pedido:
Perto de
podemos usar a forma reduzida
para avaliar o comportamento, porque o cancelamento não envolve
. Considere
com
pequeno (isso é justamente a noção de
, aproximando por valores maiores que
). Então
que para
pequeno é aproximadamente
(portanto negativo). E
que é um número positivo muito pequeno (tende a
quando
).
Logo a fração
é um número negativo cujo módulo cresce sem limite quando
(porque dividimos um número aproximadamente constante
por algo que vai para zero positivo). Portanto a expressão tende a
.
Formalizando:
Resposta
i)
. O denominador anula-se em
e
.\n
ii) (simplificando para
obtém-se
).
em
;
em
;
;
não está definida em
(descontinuidade removível) e em
(assíntota vertical).\n
iii) .
ii)
iii)