Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Calcule o limite a seguir. Identifique a assíntota vertical, se houver:
\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{1}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite pela esquerda e identifique a assíntota vertical, se houver, para a função dada. As informações fornecidas são:
\lim_{x\rightarrow 4^{-}} \frac{1}{x-4}
Ou seja: a função é \frac{1}{x-4} e devo analisar o comportamento quando x se aproxima de 4 vindo pela esquerda (valores de x menores que 4).

Passo 2

Entendendo o que significa “aproximar-se de 4 pela esquerda”: isso quer dizer que consideramos valores de x tais que x<4 e que vão ficando cada vez mais próximos de 4. Nesses pontos temos x-4<0. Agora pense nisso em duas partes: sinal e módulo (valor absoluto).
  • Sinal: para x<4 temos x-4 negativo, e o numerador é 1 (positivo). Então o quociente \frac{1}{x-4} será sempre negativo quando x<4.
  • Módulo: se x fica muito perto de 4, a diferença |x-4| fica muito pequena. Dividir 1 por um número muito pequeno em módulo (próximo de zero) produz um número de grande magnitude.
Juntando as duas observações: ao aproximar x de 4 pela esquerda, o denominador tende a 0 através de valores negativos (escrevemos isso como x-4\to 0^{-}), então estamos dividindo 1 por um número negativo cujo módulo tende a zero — isso gera um número negativo com módulo crescendo sem limite.

Passo 3

Para tornar a ideia mais concreta, use uma sequência simples que aproxima 4 pela esquerda, por exemplo x_n = 4 - \tfrac{1}{n} com n=1,2,3,\dots. Então
x_n-4 = -\frac{1}{n}
e
\frac{1}{x_n-4} = \frac{1}{-1/n} = -n.
Como n\to\infty temos -n\to -\infty. Isso mostra explicitamente que, ao aproximar x de 4 vindo da esquerda, os valores da função caem sem limite, indo para menos infinito.

Passo 4

Interpretação prática: valores numéricos ilustrativos — para x=3{,}9 temos \frac{1}{3{,}9-4}=\frac{1}{-0{,}1}=-10; para x=3{,}99 temos \frac{1}{-0{,}01}=-100; para x=3{,}999 -1000. À medida que x se aproxima de 4 pela esquerda, os números tornam-se cada vez mais negativos. Logo o limite lateral pela esquerda é negativo infinito.

Passo 5

Sobre a assíntota vertical: a definição prática que usamos é a seguinte — se uma função tem comportamento de crescer em módulo sem limite (tender a +\infty ou -\infty) quando x se aproxima de a por pelo menos um dos lados, então a reta vertical x=a é uma assíntota vertical. Aqui vimos que ao aproximar x de 4 pela esquerda a função vai para -\infty. Além disso, observação rápida (não exigida mas útil): pela direita x\to4^{+} o denominador é positivo pequeno, então \frac{1}{x-4}\to +\infty; portanto a reta x=4 é mesmo uma assíntota vertical.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4^{-}} \frac{1}{x-4} = -\infty\n
Assíntota vertical: x=4

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