Limite Infinito Básico (Assíntota Vertical)
Calcule o limite a seguir. Identifique a assíntota vertical, se houver:
Calcule o limite a seguir. Identifique a assíntota vertical, se houver:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite pela esquerda e identifique a assíntota vertical, se houver, para a função dada. As informações fornecidas são:
Ou seja: a função é
e devo analisar o comportamento quando
se aproxima de
vindo pela esquerda (valores de
menores que
).
Passo 2
Entendendo o que significa “aproximar-se de
pela esquerda”: isso quer dizer que consideramos valores de
tais que
e que vão ficando cada vez mais próximos de
. Nesses pontos temos
. Agora pense nisso em duas partes: sinal e módulo (valor absoluto).
- Sinal: para
temos negativo, e o numerador é (positivo). Então o quociente será sempre negativo quando . - Módulo: se
fica muito perto de , a diferença fica muito pequena. Dividir por um número muito pequeno em módulo (próximo de zero) produz um número de grande magnitude.
Juntando as duas observações: ao aproximar
de
pela esquerda, o denominador tende a
através de valores negativos (escrevemos isso como
), então estamos dividindo
por um número negativo cujo módulo tende a zero — isso gera um número negativo com módulo crescendo sem limite.
Passo 3
Para tornar a ideia mais concreta, use uma sequência simples que aproxima
pela esquerda, por exemplo
com
. Então
e
Como
temos
. Isso mostra explicitamente que, ao aproximar
de
vindo da esquerda, os valores da função caem sem limite, indo para menos infinito.
Passo 4
Interpretação prática: valores numéricos ilustrativos — para
temos
; para
temos
; para
dá
. À medida que
se aproxima de
pela esquerda, os números tornam-se cada vez mais negativos. Logo o limite lateral pela esquerda é negativo infinito.
Passo 5
Sobre a assíntota vertical: a definição prática que usamos é a seguinte — se uma função tem comportamento de crescer em módulo sem limite (tender a
ou
) quando
se aproxima de
por pelo menos um dos lados, então a reta vertical
é uma assíntota vertical. Aqui vimos que ao aproximar
de
pela esquerda a função vai para
. Além disso, observação rápida (não exigida mas útil): pela direita
o denominador é positivo pequeno, então
; portanto a reta
é mesmo uma assíntota vertical.
Resposta
Assíntota vertical: