Calcule os limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{3 x^{2}+2 x+1}-\sqrt{2 x}\right).

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2x}\right).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão envolve duas raízes quadradas: \sqrt{3x^{2}+2x+1} e \sqrt{2x}.
  • O ponto para o qual x tende é -\infty (isto é, valores de x muito negativos).
O que precisamos verificar antes de tentar manipular a expressão: para que valores de x cada termo está definido (domínio), porque se a expressão não estiver definida para valores suficientemente negativos, o limite quando x\to -\infty não faz sentido no contexto dos números reais.

Passo 2

Analisando o domínio do primeiro termo \sqrt{3x^{2}+2x+1}.
Explicação didática: uma raiz quadrada real \sqrt{A} exige A\ge 0. Então vamos checar se 3x^{2}+2x+1 pode ser negativo para algum x real.
Calculemos o discriminante da quadrática 3x^{2}+2x+1:
\Delta = 2^{2}-4\cdot 3\cdot 1 = 4-12 = -8.
Como \Delta<0, a quadrática 3x^{2}+2x+1 não tem raízes reais e, como o coeficiente de x^{2} é 3>0, a quadrática é positiva para todo x\in\mathbb{R}. Alternativamente, completando o quadrado:
3x^{2}+2x+1 = 3\left(x+\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\tfrac{2}{3}>0\quad\text{para todo }x.
Conclusão: \sqrt{3x^{2}+2x+1} está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Analisando o domínio do segundo termo \sqrt{2x}.
Explicação didática: novamente, para \sqrt{2x} ser real precisamos que 2x\ge 0. Assim
2x\ge 0 \iff x\ge 0.
Conclusão: \sqrt{2x} está definida apenas para x\in[0,\infty).

Passo 4

Concluindo sobre o domínio da expressão inteira.
A expressão
f(x)=\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2x}
é definida somente onde ambos os termos existem. Como \sqrt{3x^{2}+2x+1} existe para todo x e \sqrt{2x} existe só para x\ge 0, o domínio de f é
\mathrm{dom}(f)=[0,\infty).
Em particular, não existem valores de x suficientemente negativos (por exemplo, nenhum x<-100) em que f esteja definida. Para falar em limite \lim_{x\to -\infty} f(x) no contexto dos números reais, precisamos que f(x) esteja definida para todos os x menores que algum número (isto é, em um intervalo do tipo (-\infty,N)); isso aqui não ocorre porque o domínio começa em 0.

Passo 5

Aplicando a definição conceitual de limite no infinito (versão informal e prática).
Explicação didática: o limite \lim_{x\to -\infty} f(x) é significativo somente se a função f estiver definida para valores de x arbitrariamente negativos (ou, tecnicamente, em algum intervalo (-\infty,N)). Como vimos, f só está definida para x\ge 0. Portanto não há sequência de valores de domínio de f que tenda a -\infty. Logo, não faz sentido falar em limite por x real tendendo a -\infty para essa função.
Conclusão lógica: no conjunto dos números reais, o limite pedido não existe porque a expressão não está definida em uma vizinhança de -\infty.

Passo 6

Comentário extra (opcional, para quem tiver curiosidade): e se estendêssemos para números complexos?
Breve observação didática: se aceitássemos valores complexos, para x<0 temos \sqrt{2x}=i\sqrt{-2x} e \sqrt{3x^{2}+2x+1} continua real e cresce como \sqrt{3}\,|x| quando |x| é grande; o termo imaginário -i\sqrt{-2x} tem módulo que cresce como \sqrt{2}\,\sqrt{|x|}. Assim o módulo da expressão tenderia para +\infty. Mas isso já sai do escopo da análise real; é só um comentário adicional para interesse.

Resposta

Não existe (a expressão não está definida para x\to -\infty no conjunto dos números reais).

Exercícios relacionados