Calcule os limites no infinito:
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão envolve duas raízes quadradas:
e . - O ponto para o qual
tende é (isto é, valores de muito negativos).
O que precisamos verificar antes de tentar manipular a expressão: para que valores de
cada termo está definido (domínio), porque se a expressão não estiver definida para valores suficientemente negativos, o limite quando
não faz sentido no contexto dos números reais.
Passo 2
Analisando o domínio do primeiro termo
.
Explicação didática: uma raiz quadrada real
exige
. Então vamos checar se
pode ser negativo para algum
real.
Calculemos o discriminante da quadrática
:
Como
, a quadrática
não tem raízes reais e, como o coeficiente de
é
, a quadrática é positiva para todo
. Alternativamente, completando o quadrado:
Conclusão:
está definida para todo
.
Passo 3
Analisando o domínio do segundo termo
.
Explicação didática: novamente, para
ser real precisamos que
. Assim
Conclusão:
está definida apenas para
.
Passo 4
Concluindo sobre o domínio da expressão inteira.
A expressão
é definida somente onde ambos os termos existem. Como
existe para todo
e
existe só para
, o domínio de
é
Em particular, não existem valores de
suficientemente negativos (por exemplo, nenhum
) em que
esteja definida. Para falar em limite
no contexto dos números reais, precisamos que
esteja definida para todos os
menores que algum número (isto é, em um intervalo do tipo
); isso aqui não ocorre porque o domínio começa em
.
Passo 5
Aplicando a definição conceitual de limite no infinito (versão informal e prática).
Explicação didática: o limite
é significativo somente se a função
estiver definida para valores de
arbitrariamente negativos (ou, tecnicamente, em algum intervalo
). Como vimos,
só está definida para
. Portanto não há sequência de valores de domínio de
que tenda a
. Logo, não faz sentido falar em limite por
real tendendo a
para essa função.
Conclusão lógica: no conjunto dos números reais, o limite pedido não existe porque a expressão não está definida em uma vizinhança de
.
Passo 6
Comentário extra (opcional, para quem tiver curiosidade): e se estendêssemos para números complexos?
Breve observação didática: se aceitássemos valores complexos, para
temos
e
continua real e cresce como
quando
é grande; o termo imaginário
tem módulo que cresce como
. Assim o módulo da expressão tenderia para
. Mas isso já sai do escopo da análise real; é só um comentário adicional para interesse.
Resposta
Não existe (a expressão não está definida para
no conjunto dos números reais).