Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Temos a equação diferencial
Pergunta implícita: encontrar as soluções
(ou seja, a solução geral da equação). Informação importante: a equação relaciona
, sua derivada
e a variável
.
Passo 2
Identificar o que podemos fazer imediatamente. Note que podemos escrever a equação isolando
:
A ideia (explicando devagar) é separar os termos que têm
de um lado e os que têm
do outro — esse é o método de equações diferenciais separáveis. Separar significa escrever algo do tipo
.
Passo 3
Fazer a separação passo a passo. Partimos de
Agora colocamos
junto de
e
junto de
:
Isto é válido sempre que
(vamos tratar o caso
depois).
Passo 4
Integrar ambos os lados. Integramos em
à esquerda e em
à direita:
Primeiro a integral à esquerda (aqui uma mini-aula):
. A integral de
é
para
. Então
Não esquece da constante de integração — por enquanto vamos colocar uma constante só no lado direito depois.
Passo 5
Calcular a integral à direita com substituição simples. Temos
É útil simplificar o integrando. Observe que
, então
Agora fazemos a substituição
. Então
. Assim
A integral padrão
. Portanto voltando à variável
,
onde
é a constante de integração (única, combinando ambos os lados).
Passo 6
Juntar as integrais e resolver para
. Da Passo 4 temos o resultado da esquerda e da Passo 5 o da direita, então
Agora isolamos
. Multiplicando por
e invertendo,
Podemos renomear a constante
por uma nova constante
(é comum e deixa a escrita mais limpa). Assim
Finalmente
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Tratar soluções especiais e comentários finais. Há também a solução constante
. Verificação rápida: se
então
e a equação original fica
, logo
é solução. A solução geral obtida em
não representa
(ela corresponde às soluções não nulas). Portanto as soluções são:
- a família geral não nula
, com ; - a solução trivial
.