\left(e^{x}+e^{-x}\right) \frac{d y}{d x}=y^{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Temos a equação diferencial
\left(e^{x}+e^{-x}\right)\frac{dy}{dx}=y^{2}.
Pergunta implícita: encontrar as soluções y(x) (ou seja, a solução geral da equação). Informação importante: a equação relaciona y, sua derivada \dfrac{dy}{dx} e a variável x.

Passo 2

Identificar o que podemos fazer imediatamente. Note que podemos escrever a equação isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{e^{x}+e^{-x}}.
A ideia (explicando devagar) é separar os termos que têm y de um lado e os que têm x do outro — esse é o método de equações diferenciais separáveis. Separar significa escrever algo do tipo \text{função de }y\cdot dy = \text{função de }x\cdot dxçãçã.

Passo 3

Fazer a separação passo a passo. Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{e^{x}+e^{-x}}.
Agora colocamos y junto de dy e x junto de dx:
\frac{1}{y^{2}}\,dy=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx.
Isto é válido sempre que y\neq 0 (vamos tratar o caso y=0 depois).

Passo 4

Integrar ambos os lados. Integramos em y à esquerda e em x à direita:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx.
Primeiro a integral à esquerda (aqui uma mini-aula): \dfrac{1}{y^{2}}=y^{-2}. A integral de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Então
\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}.
Não esquece da constante de integração — por enquanto vamos colocar uma constante só no lado direito depois.

Passo 5

Calcular a integral à direita com substituição simples. Temos
\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx.
É útil simplificar o integrando. Observe que e^{x}+e^{-x}=e^{-x}(e^{2x}+1), então
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}.
Agora fazemos a substituição t=e^{x}. Então dt=e^{x}\,dx. Assim
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}\,dx=\int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt.
A integral padrão \displaystyle\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt=\arctan t + C. Portanto voltando à variável x,
\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx=\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C,
onde C é a constante de integração (única, combinando ambos os lados).

Passo 6

Juntar as integrais e resolver para y. Da Passo 4 temos o resultado da esquerda e da Passo 5 o da direita, então
-\frac{1}{y}=\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C.
Agora isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo,
\frac{1}{y}=-\arctan\bigl(e^{x}\bigr)-C.
Podemos renomear a constante -C por uma nova constante C_{1} (é comum e deixa a escrita mais limpa). Assim
\frac{1}{y}=C_{1}-\arctan\bigl(e^{x}\bigr).
Finalmente
y(x)=\frac{1}{C_{1}-\arctan\bigl(e^{x}\bigr)},
onde C_{1} é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Tratar soluções especiais e comentários finais. Há também a solução constante y\equiv 0. Verificação rápida: se y=0 então \dfrac{dy}{dx}=0 e a equação original fica 0=0, logo y\equiv 0 é solução. A solução geral obtida em não representa y\equiv 0 (ela corresponde às soluções não nulas). Portanto as soluções são:
  • a família geral não nula y(x)=\dfrac{1}{C_{1}-\arctan\bigl(e^{x}\bigr)}, com C_{1}\in\mathbb{R};
  • a solução trivial y(x)=0.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{C-\arctan\bigl(e^{x}\bigr)}, com C\in\mathbb{R}
y(x)=0

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