Q. 8. O limite lim x 1 x-1sen(pi x) é igual a:
(a) -pi;
(b) 1pi;
(c) -2pi;
(d) -1pi.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto1x-1sin(pi x),
que é um caso clássico de forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hopital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao substituir x=1 temos
x-1 = 0 e sin(pi x)|x=1 = sin(pi) = 0,
logo é 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hopital, derivamos numerador e denominador separadamente:
  • Derivada do numerador x-1 é 1.
  • Derivada do denominador sin(pi x) é picos(pi x).
Portanto o limite passa a ser
limxto11picos(pi x)
Substituindo x=1 em cos(pi x) cos(pi)=-1, então
limxto11picos(pi x) = 1pi(-1) = -1pi

Resposta

(d) -1pi

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