Questão 3 (4,0 pontos)
Resolver o problema de contorno definido pela equação
& ut=4 ux x & ux(0, t)=0, ux(pi, t)=0 & u(x, 0)=f(x)

Passo 1

O enunciado descreve o problema de calor unidimensional
ut(x,t)=4,uxx(x,t), 0<x<pi,;t>0
com condições de contorno de Neumann
ux(0,t)=0, ux(pi,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=f(x)
O conteúdo é separação de variáveis e expansão em séries de Fourier cosseno.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em ,ut=4uxx, obtemos
X(x),T'(t)=4,X''(x),T(t),
ou seja
T'(t)4,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

O problema de autovalores para X é
X''(x)+lambda X(x)=0,
com
X'(0)=0, X'(pi)=0
As soluções não-triviais ocorrem para
lambdan=n^2, n=0,1,2,dots
e os autofunções correspondentes são
X0(x)=1, Xn(x)=cos(nx)(n>=1)

Passo 4

Para cada lambdan a equação de T é
T'(t)=-4,lambdan,T(t),
cuja solução é
Tn(t)=expl(-4,n^2tr)

Passo 5

A combinação linear de todos os modos dá a solução geral
u(x,t) =a0 + sumn=1^inftyan,cos(nx), e^-4n^2t

Passo 6

Em t=0 deve valer u(x,0)=f(x), logo
f(x)=a0+sumn=1^inftyancos(nx)
é a série de Fourier cosseno de f. Os coeficientes são
a0=1piintegral0^pif(x), dx, an=2piintegral0^pif(x)cos(nx), dx(n>=1)

Resposta

boxed u(x,t) =1piintegral0^pif(s), ds +sumn=1^inftygl(2piintegral0^pif(s)cos(ns), dsgr) cos(nx),e^-4n^2t

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