Questão 3 (4,0 pontos)
Resolver o problema de contorno definido pela equação
Resolver o problema de contorno definido pela equação
Passo 1
O enunciado descreve o problema de calor unidimensional
com condições de contorno de Neumann
e condição inicial
O conteúdo é separação de variáveis e expansão em séries de Fourier cosseno.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo em
obtemos
ou seja
onde
é constante de separação.
Passo 3
O problema de autovalores para
é
com
As soluções não-triviais ocorrem para
e os autofunções correspondentes são
Passo 4
Para cada
a equação de
é
cuja solução é
Passo 5
A combinação linear de todos os modos dá a solução geral
Passo 6
Em
deve valer
, logo
é a série de Fourier cosseno de
. Os coeficientes são