Mostre que integral0^2 pi sen(k t) d t=0, onde k é um inteiro não-nulo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral0^2pisin(k t),dt = 0
onde k é um inteiro não nulo. Esse é um caso clássico de integral de função trigonométrica periódica: podemos usar a antiderivada de sin(kt) e avaliar de 0 a 2pi.

Passo 2

A antiderivada de sin(kt) em função de t é
F(t) = integral sin(kt),dt = -1kcos(kt)

Passo 3

Para calcular a integral definida, avaliamos F em t=2pi e em t=0:
integral0^2pisin(kt),dt = F(2pi) - F(0) = l(-tfrac1kcos(2pi k)r);-;l(-tfrac1kcos(0)r)

Passo 4

Como cos(2pi k)=1 (pois k é inteiro) e cos(0)=1, temos
-1kcdot 1 ;+;1kcdot 1 ;=;0,
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integral0^2pisin(kt),dt=0.

Resposta

0

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