Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 4. (F. 10.1, ex.2.3)
Passo 1
O problema pede a função de Green para o problema de valor inicial
com condições homogêneas em :
O objetivo é encontrar tal que
resolva o problema dado. Para isso vamos:
– Formular o problema de contorno para .
– Resolver a EDO homogênea associada.
– Ajustar constantes impondo continuidade de , de suas primeiras duas derivadas em e salto unitário na terceira derivada.
Passo 2
Definimos como solução de
com
e exigimos ainda que
(pois a condição inicial força ausência de resposta antes do impulso).
Passo 3
As soluções gerais da homogênea
vêm das raízes de , i.e.
Uma base real conveniente é
Para escrevemos
Passo 4
Impondo em as condições de continuidade em : . , . , . ,
e o salto na terceira derivada . .
Como identicamente para , temos para .
Isso gera um sistema de quatro equações lineares em .
Passo 5
Calculando as derivadas das em , obtém–se explicitamente o sistema