Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 4. (F. 10.1, ex.2.3)
c u^(4)+u=f u(0)=u^prime(0)=u^prime prime(0)=u^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O problema pede a função de Green para o problema de valor inicial
u^(4)(x)+u(x)=f(x), x>0,
com condições homogêneas em x=0:
u(0)=u'(0)=u''(0)=u'''(0)=0
O objetivo é encontrar G(x,s) tal que
u(x)=integral0^inftyG(x,s),f(s),ds
resolva o problema dado. Para isso vamos:
– Formular o problema de contorno para G.
– Resolver a EDO homogênea associada.
– Ajustar constantes impondo continuidade de G, de suas primeiras duas derivadas em x=s e salto unitário na terceira derivada.

Passo 2

Definimos G como solução de
G^(4)(x,s)+G(x,s)=de<a(x-s),
com
G(0,s)=G'(0,s)=G''(0,s)=G'''(0,s)=0
e exigimos ainda que
G(x,s)=0para x<s
(pois a condição inicial força ausência de resposta antes do impulso).

Passo 3

As soluções gerais da homogênea
y^(4)+y=0
vêm das raízes de r^4+1=0, i.e.
rk = expl(il(tfracpi4 + tfrackpi2r)r), k=0,1,2,3
Uma base real conveniente é
phi1(t)&=e^-t/raiz2sinl(t/raiz2r),& phi2(t)&=e^-t/raiz2cosl(t/raiz2r), phi3(t)&=e^,t/raiz2sinl(t/raiz2r),& phi4(t)&=e^,t/raiz2cosl(t/raiz2r)
Para x>s escrevemos
G(x,s)=A(s),phi1(x-s)+B(s),phi2(x-s)+C(s),phi3(x-s)+D(s),phi4(x-s)

Passo 4

Impondo em t=x-s=0 as condições de continuidade em x=s:
1. G(s^+,s)=0,
2. G'(s^+,s)=0,
3. G''(s^+,s)=0,
e o salto na terceira derivada
4. G'''(s^+,s)-G'''(s^-,s)=1.
Como G(s^-,s)=0 identicamente para x<s, temos G^(k)(s^-,s)=0 para k=0,1,2,3.
Isso gera um sistema de quatro equações lineares em A,B,C,D.

Passo 5

Calculando as derivadas das phii em t=0, obtém–se explicitamente o sistema
B(s)+D(s)=0, 1raiz2l[A(s)-B(s)+C(s)+D(s)r]=0, -,A(s)+C(s)=0, 1raiz2l[A(s)-B(s)-C(s)-D(s)r]=1
Resolvendo-o encontra-se
A(s)&=tfrac12raiz2, &B(s)&=-tfrac12raiz2, C(s)&=tfrac12raiz2, &D(s)&=tfrac12raiz2

Passo 6

Substituindo em G(x,s) para x>s e lembrando que G=0 se x<s, obtemos
G(x,s)=H(x-s),12raiz2 l[ e^-x-sraiz2l(sinx-sraiz2-cosx-sraiz2r) -,e^x-sraiz2l(sinx-sraiz2+cosx-sraiz2r) r],
onde H é o degrau de Heaviside.

Resposta

G(x,s)= 0,&x<s,[6pt] 12raiz2l[ e^-x-sraiz2l(sinx-sraiz2-cosx-sraiz2r) -,e^x-sraiz2l(sinx-sraiz2+cosx-sraiz2r) r],&x>= s ]

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