Se x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}, então x^{96}+x^{90}+x^{24}+x^{18}+5 é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Passo 1

O enunciado dá a equação \;x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}\; e pede o valor de \;x^{96}+x^{90}+x^{24}+x^{18}+5\;. Informações relevantes fornecidas:
\;x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}\;.
Queremos o valor numérico de \;x^{96}+x^{90}+x^{24}+x^{18}+5\;.

Passo 2

Transformo a equação em um polinômio para entender as raízes. Multiplicando por x (assumindo x\neq0, o que é válido aqui) obtenho:
x^2-\sqrt{3}\,x+1=0.
Isso é um quadrático cujas raízes são os valores possíveis de x.

Passo 3

Calculo o discriminante da equação quadrática para ver a natureza das raízes:
\Delta = (\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot1 = 3-4 = -1.
Como \Delta=-1<0, as raízes são complexas conjugadas. As raízes explícitas são
x=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}.
Note que o produto das raízes é 1 (termo constante da quadrática), então cada raiz tem módulo 1. Isso sugere escrever x na forma exponencial complexa x=e^{i\theta} ou x=e^{-i\theta}.

Passo 4

Relaciono \;x+\frac{1}{x}\; com cosseno: se x=e^{i\theta} então
x+\frac{1}{x}=e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta.
Pela hipótese x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}, temos
2\cos\theta=\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Isso acontece quando \theta=\pm\frac{\pi}{6} (entre as possíveis equivalências mod 2\pi). Portanto
x=e^{i\pi/6}\quad\text{ou}\quad x=e^{-i\pi/6}.

Passo 5

Uso a forma exponencial para reduzir potências: x^n=e^{i n\pi/6}. Como e^{i2\pi}=1, a ordem mínima aqui é quando n\pi/6 muda por 2\pi, ou seja quando n muda por 12. Logo x^{12}=1 e as potências de x são periódicas módulo 12.

Passo 6

Reduzo os expoentes módulo 12:
96\equiv0\pmod{12},\qquad 90\equiv6\pmod{12},\qquad 24\equiv0\pmod{12},\qquad 18\equiv6\pmod{12}.
Portanto
x^{96}=x^0=1,\quad x^{24}=1,\quad x^{90}=x^6,\quad x^{18}=x^6.

Passo 7

Substituo na expressão pedida:
x^{96}+x^{90}+x^{24}+x^{18}+5 = 1 + x^6 + 1 + x^6 +5 = 7 + 2x^6.

Passo 8

Calculo x^6. Como x=e^{\pm i\pi/6},
x^6 = e^{\pm i\pi} = -1.
Assim 2x^6 = 2\cdot(-1) = -2.

Passo 9

Finalmente:
7 + 2x^6 = 7 - 2 = 5.

Resposta

(E) 5

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