Se
, então
é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede o valor de
. Informações relevantes fornecidas:
.
Queremos o valor numérico de .
Queremos o valor numérico de
Passo 2
Transformo a equação em um polinômio para entender as raízes. Multiplicando por
(assumindo
, o que é válido aqui) obtenho:
Isso é um quadrático cujas raízes são os valores possíveis de
.
Passo 3
Calculo o discriminante da equação quadrática para ver a natureza das raízes:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. As raízes explícitas são
Note que o produto das raízes é
(termo constante da quadrática), então cada raiz tem módulo
. Isso sugere escrever
na forma exponencial complexa
ou
.
Passo 4
Relaciono
com cosseno: se
então
Pela hipótese
, temos
Isso acontece quando
(entre as possíveis equivalências mod
). Portanto
Passo 5
Uso a forma exponencial para reduzir potências:
. Como
, a ordem mínima aqui é quando
muda por
, ou seja quando
muda por
. Logo
e as potências de
são periódicas módulo
.
Passo 6
Reduzo os expoentes módulo
:
Portanto
Passo 7
Substituo na expressão pedida:
Passo 8
Calculo
. Como
,
Assim
.
Passo 9
Finalmente:
Resposta
(E) 5