Quantas soluções reais possui a equação:
65?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar quantas soluções reais tem a equação
Informações dadas e observações imediatas:
- As bases
e são números reais maiores que . - Queremos contar o número de
que satisfazem a equação (ou seja, quantas soluções reais existem). - As alternativas oferecidas são:
.
Passo 2
Defino a função auxiliar
Motivo: transformar a equação em
facilita estudar existência e unicidade de soluções usando propriedades de funções exponenciais. Algumas propriedades úteis de
:
- Funções exponenciais
são contínuas para todo , logo é contínua em . - Vamos procurar pontos onde
toma valores conhecidos para ter pistas sobre soluções.
Passo 3
Verificação direta de uma solução inteira óbvia (teste direto):
Portanto
é uma solução; já sabemos que existe pelo menos uma solução real.
Passo 4
Agora é preciso mostrar que não existe outra solução além de
. Primeiro, vejo o sinal de
para
. Faço fatoração útil:
Explicando passo a passo:
- Para qualquer
, (exponencial positiva). - Se
, então porque e potências com expoente negativo invertam o número (>1 torna-se <1). Então . - Multiplicando
por obtemos para todo .
Conclusão desta etapa: para
temos
, logo nenhuma solução de
pode ocorrer com
(pois
).
Passo 5
Avalio
em
para referencia:
Assim
. Já sabemos
. Como
e
e
é contínua, existe pelo menos uma solução no intervalo
— já encontramos essa solução em
. Mas ainda precisamos garantir unicidade (que não haja outra solução
nem entre
e
).
Passo 6
Vou mostrar que
é estritamente crescente para
. Cálculo da derivada (passo didático sobre derivadas de exponenciais):
- Regra: a derivada de
em relação a é . Aqui é o logaritmo natural de .
Aplico essa regra:
Fatorando
:
Agora raciocínio sobre o sinal de
para
:
- Para
temos . - Assim
. - E como
(porque implica logaritmo maior), obtemos . - Portanto o parêntese é positivo, e como
, concluímos para todo .
Portanto
é estritamente crescente em
.
Passo 7
Conclusão final a partir das informações anteriores:
- Para
, (impossível ser ). - Em
, . - Em
, é estritamente crescente. Como , não pode existir outro com (estrita monotonidade evita dois pontos distintos com mesmo valor). - Logo a única solução real da equação é
.
Resposta
(B)