Quantas soluções reais possui a equação: 3^{x}-2^{x}= 65?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar quantas soluções reais tem a equação
3^{x}-2^{x}=65.
Informações dadas e observações imediatas:
  • As bases 3 e 2 são números reais maiores que 1.
  • Queremos contar o número de x\in\mathbb{R} que satisfazem a equação (ou seja, quantas soluções reais existem).
  • As alternativas oferecidas são: 0,1,2,3,4.

Passo 2

Defino a função auxiliar
f(x)=3^{x}-2^{x}.
Motivo: transformar a equação em f(x)=65 facilita estudar existência e unicidade de soluções usando propriedades de funções exponenciais. Algumas propriedades úteis de f:
  • Funções exponenciais a^{x} são contínuas para todo x\in\mathbb{R}, logo f é contínua em \mathbb{R}.
  • Vamos procurar pontos onde f toma valores conhecidos para ter pistas sobre soluções.

Passo 3

Verificação direta de uma solução inteira óbvia (teste direto):
3^{4}-2^{4}=81-16=65.
Portanto x=4 é uma solução; já sabemos que existe pelo menos uma solução real.

Passo 4

Agora é preciso mostrar que não existe outra solução além de x=4. Primeiro, vejo o sinal de f para x<0. Faço fatoração útil:
f(x)=3^{x}-2^{x}=2^{x}\bigl((3/2)^{x}-1\bigr).
Explicando passo a passo:
  • Para qualquer x, 2^{x}>0 (exponencial positiva).
  • Se x<0, então (3/2)^{x}<1 porque 3/2>1 e potências com expoente negativo invertam o número (>1 torna-se <1). Então (3/2)^{x}-1<0.
  • Multiplicando 2^{x}>0 por (3/2)^{x}-1<0 obtemos f(x)<0 para todo x<0.
Conclusão desta etapa: para x<0 temos f(x)<0, logo nenhuma solução de f(x)=65 pode ocorrer com x<0 (pois 65>0).

Passo 5

Avalio f em x=0 para referencia:
f(0)=3^{0}-2^{0}=1-1=0.
Assim f(0)=0<65. Já sabemos f(4)=65. Como f(0)<65 e f(4)=65 e f é contínua, existe pelo menos uma solução no intervalo [0,4] — já encontramos essa solução em x=4. Mas ainda precisamos garantir unicidade (que não haja outra solução >4 nem entre 0 e 4).

Passo 6

Vou mostrar que f é estritamente crescente para x>0. Cálculo da derivada (passo didático sobre derivadas de exponenciais):
  • Regra: a derivada de a^{x} em relação a x é a^{x}\ln a. Aqui \ln a é o logaritmo natural de a.
    Aplico essa regra:
f'(x)=\frac{d}{dx}(3^{x})-\frac{d}{dx}(2^{x})=3^{x}\ln 3-2^{x}\ln 2.
Fatorando 2^{x}:
f'(x)=2^{x}\Bigl((3/2)^{x}\ln 3-\ln 2\Bigr).
Agora raciocínio sobre o sinal de f'(x) para x>0:
  • Para x>0 temos (3/2)^{x}>1.
  • Assim (3/2)^{x}\ln 3>\ln 3.
  • E como \ln 3>\ln 2 (porque 3>2 implica logaritmo maior), obtemos (3/2)^{x}\ln 3>\ln 2.
  • Portanto o parêntese é positivo, e como 2^{x}>0, concluímos f'(x)>0 para todo x>0.
Portanto f é estritamente crescente em (0,\infty).

Passo 7

Conclusão final a partir das informações anteriores:
  • Para x<0, f(x)<0 (impossível ser 65).
  • Em x=0, f(0)=0.
  • Em (0,\infty), f é estritamente crescente. Como f(4)=65, não pode existir outro x>0 com f(x)=65 (estrita monotonidade evita dois pontos distintos com mesmo valor).
  • Logo a única solução real da equação é x=4.

Resposta

(B) 1

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