O limite
existe? Justifique.
Passo 1
O exercício pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis
A função é
A função é
quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos usar coordenadas polares para estudar a taxa de decaimento.
Passo 2
Em limites de funções de duas variáveis é comum usar coordenadas polares: definimos x=r\cosθ e y=r\sinθ, com r≥0. Quando (x,y)→(0,0), teremos r→0. Se conseguirmos expressar f em termos de r e θ e mostrar que tende ao mesmo valor para todo θ admissível, o limite existe.
Passo 3
Fazendo a mudança x=r\cosθ e y=r\sinθ vemos que
logo
O numerador vira
o
e o denominador é r^2. Logo
Passo 4
Agora basta notar que para θ tal que \cosθ+\sinθ≥0 (domínio onde a raiz faz sentido), a expressão angular \cosθ\sinθ\sqrt{\cosθ+\sinθ} é limitada por alguma constante M. Então
Como r→0, r^{1/2}M→0 independentemente de θ.
Passo 5
Isso mostra que f(r,θ)→0 para todo caminho admissível. Logo o limite existe e é igual a 0.
Resposta
0