O limite
lim (x, y) (0,0) x y raizy+xx^2+y^2
existe? Justifique.

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis
A função é
f(x,y)=x,y,raizx+yx^2+y^2
quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos usar coordenadas polares para estudar a taxa de decaimento.

Passo 2

Em limites de funções de duas variáveis é comum usar coordenadas polares: definimos x=r\cosθ e y=r\sinθ, com r≥0. Quando (x,y)→(0,0), teremos r→0. Se conseguirmos expressar f em termos de r e θ e mostrar que tende ao mesmo valor para todo θ admissível, o limite existe.

Passo 3

Fazendo a mudança x=r\cosθ e y=r\sinθ vemos que
x+y=r(cosθ+sinθ),
logo
raizx+y=raizr,raizcosθ+sinθ
O numerador vira
o rcosθ;rsinθ;raizr,raizcosθ+sinθ=r^5/2,cosθ,sinθ,raizcosθ+sinθ,
e o denominador é r^2. Logo
f(r,θ)=r^1/2;cosθ,sinθ;raizcosθ+sinθ

Passo 4

Agora basta notar que para θ tal que \cosθ+\sinθ≥0 (domínio onde a raiz faz sentido), a expressão angular \cosθ\sinθ\sqrt{\cosθ+\sinθ} é limitada por alguma constante M. Então
|f(r,θ)|<= r^1/2;M
Como r→0, r^{1/2}M→0 independentemente de θ.

Passo 5

Isso mostra que f(r,θ)→0 para todo caminho admissível. Logo o limite existe e é igual a 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados