Usando Coordenadas Polares
Certos limites na origem podem ser calculados com auxilio das coordenadas polares x=r cos theta e y=r sen(theta). Como r=raizx^2+y^2, então (x, y) (0,0) se, e só se, r 0 e, assim, se o valor do limite, com r 0, não depender da direção theta, esse será o valor do limite original, com (x, y) (0,0).
Usando coordenadas polares, mostrar que:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lim(x,y)to(0,0)3x^2yx^2+y^2 usando coordenadas polares, onde vamos substituir x=rcostheta, y=rsintheta e mostrar que o resultado, ao fazer rto0, independe de theta.

Passo 2

Substituímos x = rcostheta e y = rsintheta. Então:
x^2 = r^2cos^2theta, y^2 = r^2sin^2theta, x^2+y^2 = r^2(cos^2theta+sin^2theta)=r^2

Passo 3

Reescrevendo o numerador e denominador em função de r e theta:
3x^2y = 3(rcostheta)^2(rsintheta) = 3r^3cos^2theta,sintheta,
x^2+y^2 = r^2
Logo a função vira:
3x^2yx^2+y^2 = 3r^3cos^2theta,sinthetar^2 = 3rcos^2theta,sintheta

Passo 4

Para avaliar o limite, usamos que |cos^2theta|<=1 e |sintheta|<=1. Assim:
l|3rcos^2theta,sinthetar| <= 3rcdot1cdot1 = 3r
Como rto0 implica 3rto0, segue que 3rcos^2theta,sinthetato0 independentemente de theta.

Resposta

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