Um retificador de meia onda deve retificar uma tensão de 400 Vrms para alimentar uma carga de 5 \mathrm{M} \Omega.
Determine:
a) valor retificado médio na a carga;
b) corrente na carga;
c) valor máximo da tensāo na carga.

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Tensão de entrada eficaz: V_{rms}=400\\ \mathrm{V}.
  • Retificador de meia onda (um diodo) alimentando uma carga resistiva R=5\\ \mathrm{M}\Omega = 5\times10^{6}\\ \Omega.
O enunciado pede:
(a) o valor retificado médio na carga (ou seja, o valor médio DC da tensão após o retificador);
(b) a corrente na carga (interpreto aqui como a corrente média DC através da carga correspondente ao valor médio de tensão);
(c) o valor máximo da tensão na carga (o pico da tensão retificada).

Passo 2

Assunções e escolhas metodológicas (importante para a prova):
  • Considero a fonte senoidal ideal e o diodo ideal (queda direta desprezível). Isso é padrão em exercícios quando não é dado o valor da queda de tensão do diodo; se o diodo tivesse queda significativa, ela deveria ser subtraída do pico.
  • A tensão de entrada pode ser escrita como v_s(t)=V_m\sin(\omega t), onde V_m é a amplitude (valor de pico) da senóide. Primeiro vamos relacionar V_{rms} com V_m.

Passo 3

Converter V_{rms} em pico V_m. Explicação da fórmula:
  • Para uma senoide pura, o valor eficaz (RMS) e o valor de pico estão ligados por
V_{rms}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.
Isto vem do cálculo do RMS para \sin: V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T V_m^2\sin^2(\omega t)\,dt}=V_m/\sqrt{2}.
Cálculo de V_m:
V_m = V_{rms}\sqrt{2} = 400\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
Valor numérico:
V_m = 400\cdot 1{,}41421356\ldots \approx 565{,}7\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Determinar o valor médio (DC) da tensão retificada por meia onda. Explicação do conceito:
  • O retificador de meia onda só deixa passar a meia-onda positiva. O valor médio ao longo de um período T é a média temporal de v_{out}(t). Para meia onda positiva de uma senoide:
V_{DC}=\frac{1}{T}\int_0^T v_{out}(t)\,dt
mas v_{out}(t)=V_m\sin(\omega t) somente em 0\le \omega t\le \pi (meia onda positiva) e é zero no intervalo \pi<\omega t<2\pi. Assim a integral sobre o período reduz a:
V_{DC}=\frac{1}{T}\int_0^{T} v_{out}(t)\,dt =\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta
onde foi usada a mudança \theta=\omega t e T=2\pi/\omega.
Calcular a integral:
V_{DC}=\frac{V_m}{2\pi}\left[-\cos\theta\right]_0^{\pi} =\frac{V_m}{2\pi}\bigl(-\cos\pi+\cos 0\bigr) =\frac{V_m}{2\pi}\bigl(-(-1)+1\bigr) =\frac{V_m}{\pi}.
Portanto a fórmula conhecida: V_{DC}=\dfrac{V_m}{\pi}.
Substituindo V_m:
V_{DC}=\frac{400\sqrt{2}}{\pi}\\ \mathrm{V}.
Valor numérico:
V_{DC}\approx\frac{565{,}685}{3{,}14159}\approx 180{,}1\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Determinar a corrente média na carga. Explicação:
  • Para uma carga puramente resistiva R, a corrente instantânea é i(t)=v_{out}(t)/R. A corrente média (DC) é simplesmente I_{DC}=V_{DC}/R (lei de Ohm aplicada ao valor médio DC).
  • Aplicando:
I_{DC}=\frac{V_{DC}}{R}=\frac{V_m/\pi}{R}.
Substituindo os valores:
I_{DC}=\frac{180{,}089\\ \mathrm{V}}{5\times10^{6}\\ \Omega}\approx 3{,}600\times10^{-5}\\ \mathrm{A}.
Convertendo para microampères:
I_{DC}\approx 36{,}0\\ \mu\mathrm{A}.

Passo 6

Determinar o valor máximo da tensão na carga. Explicação:
  • O máximo (valor de pico) da tensão senoidal de entrada é V_m. Com o diodo ideal a meia-onda positiva atinge esse pico na carga. Portanto:
V_{max}=V_m=V_{rms}\sqrt{2}=400\sqrt{2}\\ \mathrm{V}\approx 565{,}7\\ \mathrm{V}.
  • Observação: se o diodo tivesse queda direta V_D significativa, o pico na carga seria V_m-V_D. Aqui consideramos V_D desprezível.

Resposta

(a) V_{DC}=\dfrac{400\sqrt{2}}{\pi}\\ \mathrm{V}\approx 180{,}1\\ \mathrm{V}
(b) I_{DC}=\dfrac{V_{DC}}{R}\approx 36{,}0\\ \mu\mathrm{A}
(c) V_{max}=400\sqrt{2}\\ \mathrm{V}\approx 565{,}7\\ \mathrm{V}

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