Seja Omega subset R^3 um aberto conexo limitado com fronteira de classe C^1.
Seja r: R^3 R^3 a função dada por r(x, y, z)=(x, y, z) e n a normal que aponta para fora de Omega. Mostre que existe lambda>0 tal que integral duplapartial Omega r n d S=lambda vol(Omega), em que vol(Omega) é o volume do aberto Omega. Determine lambda.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um aberto conectado e limitado OmegasubsetR^3 de fronteira C^1, a função identidade r(x,y,z)=(x,y,z) e a normal exterior n. Queremos mostrar que
integral duplapartialOmegarcdot n,dS=lambda,vol(Omega)
e determinar lambda.

Passo 2

Para relacionar uma integral de superfície com uma integral de volume, usamos o Teorema da Divergência (ou de Gauss). Ele afirma que, para um campo vetorial Fin C^1 definido em Omega com fronteira C^1,
integral duplapartialOmegaFcdot n,dS=integralOmegadivF,dV

Passo 3

Aplicamos esse teorema ao campo F=r. Primeiro calculamos sua divergência:
divr=partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z=1+1+1=3

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplapartialOmegarcdot n,dS=integralOmegadivr,dV =integralOmega3,dV =3integralOmegadV =3,vol(Omega)

Resposta

lambda=3.

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