Seja
um aberto conexo limitado com fronteira de classe
.
Seja
a função dada por
e
a normal que aponta para fora de
. Mostre que existe
tal que
, em que
é o volume do aberto
. Determine
.
Seja
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um aberto conectado e limitado
de fronteira
, a função identidade
e a normal exterior
. Queremos mostrar que
e determinar
.
Passo 2
Para relacionar uma integral de superfície com uma integral de volume, usamos o Teorema da Divergência (ou de Gauss). Ele afirma que, para um campo vetorial
definido em
com fronteira
,
Passo 3
Aplicamos esse teorema ao campo
. Primeiro calculamos sua divergência:
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência,