Problema 78 Determine o valor de x tal que:
raiz[4]3^x^2-7 x+8=raiz[6](127)^x-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar x de modo que
raiz[4]3^x^2-7 x+8 ;=;raiz[6]l(tfrac127r)^x-1
O conteúdo é manipulação de radicais e potências de mesma base, e vamos usar as propriedades
raiz[n]a^m=a^m/n e a reescrita de tfrac127=3^-3.

Passo 2

Escrevendo cada radical como potência:
raiz[4]3^x^2-7 x+8 =3^x^2-7 x+84 e raiz[6]l(tfrac127r)^x-1 =l(3^-3r)^x-16 =3^-3(x-1)6 =3^-x-12

Passo 3

Como as duas expressões são potências de base 3 (positiva e diferente de 1), basta igualar os expoentes:
x^2-7 x+84 =-x-12
Multiplicando ambos os lados por 4
x^2-7x+8=-2(x-1)

Passo 4

Desenvolvendo e rearranjando para formar uma equação quadrática:
x^2-7x+8=-2x+2 ;Longrightarrow; x^2-7x+8+2x-2=0 ;Longrightarrow; x^2-5x+6=0
Fatorando:
(x-2)(x-3)=0 ;Longrightarrow; x=2 ou x=3

Passo 5

Verificamos que não há restrição adicional, pois as potências de base 3 são sempre bem definidas para todo x. Ambos os valores satisfazem a equação original.

Resposta

x=2 ou x=3

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