Dois dados não viciados são jogados. A cada jogo podemos associar um par em S=(a, b) ; a, b in1,2,3,4,5,6 que corresponde aos resultados do primeiro jogo (denotado por a) e do segundo jogo (denotado por b). Seja X: S R a variável aleatória dada por X(a, b)=a+b.
(2 pontos) a) Calcule pk=P(X=k) para todo k in0,1,2, ldots. Com estes resultados calcule a esperança E(X) e esboce a função de distribuição FX.
(1 ponto) b) Jogamos os dois dados n vezes. Calcule a probabilidade de que, em pelo menos uma das jogadas, obtenhamos (1,1) (os dois dados caem com valor 1 ). Qual deve ser o menor valor de n para que esta probabilidade seja maior do que 12 ?

Passo 1

Temos dois dados justos e independentes, de modo que o espaço amostral é
S = (a,b)mid a,bin1,2,3,4,5,6
com lvert Srvert=36. Definimos a variável aleatória X:StoR por
X(a,b)=a+b,
que só pode assumir valores inteiros de 2 a 12.
Na parte (a) queremos o histograma de X (isto é, sua função de massa pk=P(X=k)), a esperança E(X) e o seu FX, a função de distribuição acumulada.
Na parte (b) jogamos esse par de dados n vezes; queremos a probabilidade de obter pelo menos um par (1,1) e o menor n para que essa probabilidade exceda tfrac12.

Passo 2

Para cada
Como todos os (36] resultados são equiprováveis,
á
]

Passo 3

A esperança de X é
E(X)=sumk=2^12k,pk
Sabendo a simetria do problema (a soma média de dois dados é 7) ou calculando o somatório, obtém-se
E(X)=7

Passo 4

A função de distribuição acumulada é
FX(x)=P(X<= x)= 0, & x<2, dfrac136, & 2<= x<3, dfrac336, & 3<= x<4, dfrac636, & 4<= x<5, dfrac1036, & 5<= x<6, dfrac1536, & 6<= x<7, dfrac2136, & 7<= x<8, dfrac2636, & 8<= x<9, dfrac3036, & 9<= x<10, dfrac3336, & 10<= x<11, dfrac3536, & 11<= x<12, 1, & x>=12
Isso é um “degrau” em cada inteiro de 2 a 12, de altura pk.

Passo 5

Em n jogadas independentes, cada jogada dá (1,1) com probabilidade tfrac136 e “não (1,1)” com tfrac3536. Logo a probabilidade de ocorrer pelo menos um (1,1) em n ensaios é
1 - l(tfrac3536r)^n
Queremos
1 - l(tfrac3536r)^n > tfrac12 Long<=ftrightarrow l(tfrac3536r)^n < tfrac12 Longrightarrow n > ln(1/2)ln(35/36)approx24,8
Assim, o menor inteiro n que satisfaz é n=25.

Resposta

a) Para k=2,3,dots,7,
pk=k-136,
para k=8,9,dots,12,
pk=13-k36,
e pk=0 fora desses valores.
E(X)=7
A função de distribuição acumulada FX(x) faz degraus em x=2,3,dots,12 com alturas acumuladas 136,336,dots,1 conforme listado no passo 4.
b) A probabilidade de ao menos um (1,1) em n jogadas é
1 - l(tfrac3536r)^n,
e para ela exceder tfrac12 precisa-se de n>=25.

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