Dois dados não viciados são jogados. A cada jogo podemos associar um par em que corresponde aos resultados do primeiro jogo (denotado por a) e do segundo jogo (denotado por b). Seja a variável aleatória dada por .
(2 pontos) a) Calcule para todo . Com estes resultados calcule a esperança e esboce a função de distribuição .
(1 ponto) b) Jogamos os dois dados vezes. Calcule a probabilidade de que, em pelo menos uma das jogadas, obtenhamos (os dois dados caem com valor 1 ). Qual deve ser o menor valor de para que esta probabilidade seja maior do que ?
Passo 1
Temos dois dados justos e independentes, de modo que o espaço amostral é
com . Definimos a variável aleatória por
que só pode assumir valores inteiros de a .
Na parte (a) queremos o histograma de (isto é, sua função de massa ), a esperança e o seu , a função de distribuição acumulada.
Na parte (b) jogamos esse par de dados vezes; queremos a probabilidade de obter pelo menos um par e o menor para que essa probabilidade exceda .
Passo 2
Para cada
Como todos os (36] resultados são equiprováveis,
]
Passo 3
A esperança de X é
E(X)=sumk=2^12k,pk
Sabendo a simetria do problema (a soma média de dois dados é 7) ou calculando o somatório, obtém-se
Isso é um “degrau” em cada inteiro de 2 a 12, de altura pk.
Passo 5
Em n jogadas independentes, cada jogada dá (1,1) com probabilidade tfrac136 e “não (1,1)” com tfrac3536. Logo a probabilidade de ocorrer pelo menos um (1,1) em n ensaios é