Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x+a)-\operatorname{sen} a}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x+a)-\sin a}{x}
que é justamente a definição de derivada de \sin t em t=a. Para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica de soma de ângulos e os limites fundamentais \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 e \lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin(x+a)=\sin x\cos a+\cos x\sin a
então
\sin(x+a)-\sin a = \sin x\cos a + \cos x\sin a - \sin a.

Passo 3

Colocamos sobre o mesmo denominador x e agrupamos termos:
\frac{\sin(x+a)-\sin a}{x} = \frac{\sin x\cos a}{x} + \frac{\cos x\sin a - \sin a}{x} = \cos a\;\frac{\sin x}{x} + \sin a\;\frac{\cos x - 1}{x}.

Passo 4

Agora, usamos os limites conhecidos:
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0.
Logo,
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x+a)-\sin a}{x} = \cos a\cdot1 + \sin a\cdot0 = \cos a.

Resposta

\cos a

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