Calcule os limites que envolvem razões trigonométricas, utilizando o primeiro limite fundamental:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 :
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} 2 x}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{3x}
usando o primeiro limite fundamental de funções trigonométricas
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1
Aqui vamos usar a aproximação \tan u\sim u quando u\to0.

Passo 2

Para explorar o limite fundamental, escrevemos
\frac{\tan 2x}{3x} =\frac{\tan 2x}{2x}\cdot\frac{2x}{3x}
Observe que \frac{2x}{3x}=\frac{2}{3} (para x\neq0).

Passo 3

Agora aplicamos o limite em cada fator:
\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{2x} =1
pelo análogo do limite \lim_{u\to0}\tan u/u=1, e
\lim_{x\to0}\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.
Multiplicando, o limite total é
1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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