Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é uma potência onde a base é \dfrac{x-1}{x+1} e o expoente é x.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
  • Para x>1 a base \dfrac{x-1}{x+1} é positiva, então a expressão está bem definida para x grande.

Passo 2

Ideia prática e motivo de usar logaritmo: expressões do tipo \big(\text{algo}\big)^{x} com x\to\infty são mais fáceis se a gente estudar o logaritmo natural da expressão. Se chamarmos
y(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x},
então, supondo y(x)>0, podemos estudar
\ln y(x)=x\ln\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right).
Se conseguirmos \displaystyle\lim_{x\to\infty}\ln y(x)=L, pela continuidade da exponencial teremos \displaystyle\lim_{x\to\infty}y(x)=e^{L}. Então vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty}x\ln\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right).

Passo 3

Reescrever a base em forma próxima de 1+\text{(pequeno)}: note que
\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}.
Então
\ln y(x)=x\ln\!\left(1-\frac{2}{x+1}\right).
Agora introduzimos a substituição conveniente para usar o limite básico \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Seja
u(x)=-\frac{2}{x+1}.
Então u(x)\to0 quando x\to\infty, e podemos escrever
\ln y(x)=x\ln(1+u(x)).

Passo 4

Aplicar o limite usando \dfrac{\ln(1+u)}{u}\to1 quando u\to0. Escrevemos
\ln y(x)=x\;u(x)\;\frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}.
Agora avaliamos o limite dos fatores separadamente. Primeiro,
x\;u(x)=x\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-2\cdot\frac{x}{x+1}.
Como x\to\infty temos \dfrac{x}{x+1}\to1, logo
\lim_{x\to\infty}x\;u(x)=-2.
Segundo, pela propriedade conhecida,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}=1,
pois u(x)\to0. Multiplicando limites (produto de limites finitos),
\lim_{x\to\infty}\ln y(x)=(-2)\cdot 1 = -2.

Passo 5

Voltar da função logaritmada para a própria expressão. Tendo encontrado
\lim_{x\to\infty}\ln y(x)=-2,
pela continuidade da função exponencial segue
\lim_{x\to\infty}y(x)=\exp\!\big(-2\big)=e^{-2}.

Passo 6

Comentário prático / regra útil (para memorizar): limites do tipo \big(1+\dfrac{a}{x+b}\big)^{x} com x\to\infty tendem a e^{a}. No nosso caso a=-2, por isso apareceu e^{-2}. Um exemplo clássico similar é \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e.

Resposta

e^{-2}

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