Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor do seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é uma potência onde a base é
e o expoente é . - O ponto de interesse é
. - Para
a base é positiva, então a expressão está bem definida para grande.
Passo 2
Ideia prática e motivo de usar logaritmo: expressões do tipo
com
são mais fáceis se a gente estudar o logaritmo natural da expressão. Se chamarmos
então, supondo
, podemos estudar
Se conseguirmos
, pela continuidade da exponencial teremos
. Então vamos calcular
.
Passo 3
Reescrever a base em forma próxima de
: note que
Então
Agora introduzimos a substituição conveniente para usar o limite básico
. Seja
Então
quando
, e podemos escrever
Passo 4
Aplicar o limite usando
quando
. Escrevemos
Agora avaliamos o limite dos fatores separadamente. Primeiro,
Como
temos
, logo
Segundo, pela propriedade conhecida,
pois
. Multiplicando limites (produto de limites finitos),
Passo 5
Voltar da função logaritmada para a própria expressão. Tendo encontrado
pela continuidade da função exponencial segue
Passo 6
Comentário prático / regra útil (para memorizar): limites do tipo
com
tendem a
. No nosso caso
, por isso apareceu
. Um exemplo clássico similar é
.