Cônicas e Quádricas
Determine a natureza da Quádrica
x^2+y^2-z^2-4 x-8 y-24=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a natureza da superfície quádricas dada por
x^2+y^2-z^2-4x-8y-24=0
O conteúdo é classificação de quádricas, e vamos precisar completar quadrados para chegar à forma canônica.

Passo 2

Primeiro, agrupamos termos em x e y e completamos quadrados:
Temos
x^2-4x=(x-2)^2-4,
y^2-8y=(y-4)^2-16
Substituindo na equação original:

Passo 3

Depois da substituição:
(x-2)^2-4+(y-4)^2-16 -z^2-24=0
Agrupando constantes:
(x-2)^2+(y-4)^2-z^2-44=0
Logo,
(x-2)^2+(y-4)^2-z^2=44

Passo 4

Para chegar à forma padrão, dividimos ambos os lados por 44:
(x-2)^244 + (y-4)^244 - z^244 =1
Aqui vemos duas parcelas positivas e uma negativa, igual a 1.

Passo 5

Quando a forma canônica é
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 - (z-ell)^2c^2 =1,
isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha. O centro é (2,4,0) e os eixos são paralelos aos eixos coordenados.

Resposta

Hiperbolóide de uma folha, centrado em (2,4,0), com eixos paralelos aos eixos x, y e z.

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