Determine e classifique os pontos críticos.
(f) f(x, y)=sin x+sin y ; 0<x<pi, 0<y<pi

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=sin x + sin y
no domínio aberto 0<x<pi,;0<y<pi.
Conteúdo: derivadas parciais, sistema nabla f=0 e teste da hessiana para classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e igualamos a zero:
fx(x,y)=partialpartial x(sin x+sin y)=cos x,
fy(x,y)=partialpartial y(sin x+sin y)=cos y
O sistema nabla f=0 fica
cos x=0,
cos y=0

Passo 3

No intervalo aberto 0<x<pi a equação cos x=0 tem solução única
x=pi2
O mesmo vale para y. Logo o único ponto crítico é
l(tfracpi2,tfracpi2r)

Passo 4

Para classificar usamos a hessiana H de f:
H(x,y)= fxx & fxy[6pt] fyx & fyy = -sin x & 0[3pt] 0 & -sin y
No ponto l(tfracpi2,tfracpi2r) temos sin(pi/2)=1, logo
Hl(tfracpi2,tfracpi2r) =-1&00&-1
O determinante é
det H=(-1)cdot(-1)-0^2=1>0,
e fxx=-1<0. Pelo teste da hessiana, esse ponto é um máximo local.]

Resposta

O único ponto crítico é l(tfracpi2,tfracpi2r), e ele é um máximo local.

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