Calcule as seguintes integrais, e se for necessário, interprete-as como áreas.
integral tg(x) ln (cos x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tg(x),lnl(cos xr),dx
Este é um problema de técnicas de integração, e a gente vai usar a substituição adequada para simplificar a expressão.

Passo 2

Observe que se definirmos
t = lnl(cos xr),
então
dt = ddxln(cos x),dx = -tg(x),dx Longrightarrow tg(x),dx = -,dt
Com isso, a integral vira
integral tg(x),ln(cos x),dx = integral t;l(tg(x),dxr) = integral t,(-dt) = -integral t,dt

Passo 3

Agora é só integrar em t:
-integral t,dt = -t^22 + C

Passo 4

Volta para a variável x:
t = lnl(cos xr) Longrightarrow -t^22 + C = -12l[lnl(cos xr)r]^2 + C

Resposta

-12l[ln(cos x)r]^2 + C

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