Limites: Calcule os seguintes limites abaixo se existirem. Caso contrário, justifique a não existência.
lim x infty(x^2+3x^2+4 x)^x^2-1x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyl(x^2+3x^2+4xr)^x^2-1x
Este é um caso de forma indeterminada l(1^inftyr), então vamos usar a transformada logarítmica e expansão em série para encontrar o valor.

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(x^2+3x^2+4xr)^x^2-1x,
e calculamos
ln L = limxtoinftyx^2-1x,ln!l(x^2+3x^2+4xr)
Depois teremos L = e^ln L.

Passo 3

Reescrevendo o logaritmo da base:
ln!l(x^2+3x^2+4xr) =lnl(1+3/x^2r);-;lnl(1+4/xr)
E o fator fora do logaritmo é
x^2-1x = x - 1x
Logo
ln L = limxtoinftyl(x-tfrac1xr)l[ln(1+3/x^2)-ln(1+4/x)r]

Passo 4

Fazemos expansão em série para xtoinfty:
ln(1+3/x^2) = 3x^2 + O(x^-4),
ln(1+4/x) = 4x - (4)^22,x^2 + O(x^-3) = 4x - 8x^2 + O(x^-3)
Então
ln(1+3/x^2)-ln(1+4/x) = -4x + 3x^2 + 8x^2 + O(x^-3) = -4x + 11x^2 + O(x^-3)

Passo 5

Multiplicamos pela parte x - 1/x:
l(x-tfrac1xr)l(-tfrac4x + tfrac11x^2 + O(x^-3)r) = -4 + 11x + O(x^-2),
cujo limite, para xtoinfty, é -4. Assim
ln L = -4 Longrightarrow L = e^-4

Resposta

e^-4

Exercícios relacionados