Calcule as seguintes integrais, e se for necessário, interprete-as como áreas.
Calcule
lim x 0 integral0^x(1-tg(2 t))^1 / t d t

Passo 1

O enunciado pede que calculemos
limxto0integral0^x(1-tan(2t))^1/t,dt
Aqui vamos usar teoria de limites de funções, expansão pela função logarítmica para achar o comportamento de (1-tan(2t))^1/t quando tto0, e depois interpretar a integral como área sob um gráfico que tende a zero de largura.

Passo 2

Defina
f(t) = (1-tan(2t))^1/t
Para achar limtto0f(t) escrevemos
ln f(t)=1tlnl(1-tan(2t)r)
Como tan(2t)=2t+O(t^3),
lnl(1-tan(2t)r)=-tan(2t)-tfrac12tan^2(2t)+O(t^3) =-2t-2t^2+O(t^3)
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ln f(t) =-2t-2t^2+O(t^3)t=-2-2t+O(t^2),
e
f(t)=e^-2-2t+O(t^2)=e^-2l(1+O(t)r)
Portanto
limtto0f(t)=e^-2

Passo 3

Como f(t) tende a uma constante finita e^-2 quando tto0, para t pequeno f(t) permanece limitada, digamos 0<= f(t)<= M. Então a área
integral0^xf(t),dt
é no máximo Mcdot x, que tende a zero quando xto0. Intuitivamente, é a área de uma “fita” de altura ~ e^-2 e largura xto0.

Passo 4

Dessa forma
0<= integral0^x(1-tan(2t))^1/t,dt<= Mx Longrightarrow limxto0integral0^x(1-tan(2t))^1/t,dt=0

Resposta

0

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