Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+3}
e pede os limites quando (a) x\to\infty e (b) x\to -\infty. Isso é um caso de funções racionais em que o grau do numerador 1 é menor que o grau do denominador 2, então esperamos que o limite seja zero em ambos os sentidos.

Passo 2

Para x\to\infty, dividimos numerador e denominador pelo maior termo em x, que é x^2:
f(x) =\frac{x+1}{x^2+3} =\frac{\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}} =\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}.
Como \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 e \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0, o numerador vai a 0 e o denominador vai a 1. Logo,
\lim_{x\to\infty}f(x)=0.

Passo 3

Para x\to -\infty, o procedimento é idêntico: ao dividir por x^2 obtemos a mesma expressão
\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}},
e agora \frac{1}{x}\to0 e \frac{1}{x^2}\to0 também quando x\to-\infty. Assim,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.

Resposta

(a) 0
(b) 0

Exercícios relacionados