Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
f(x)=\frac{3 x+7}{x^{2}-2}

Passo 1

O enunciado pede os limites da função racional
f(x)=\frac{3x+7}{x^2-2}
quando
(a) x \to +\infty
(b) x \to -\infty.
O conteúdo é limite de função racional no infinito, e vamos usar a técnica de comparar graus dos polinômios ou dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Observe que o grau do numerador é 1 (termo dominante 3x) e o grau do denominador é 2 (termo dominante x^2). Quando o grau do denominador é maior, o valor da função tende a zero no infinito, mas vamos mostrar isso formalmente.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^2, obtemos
f(x) =\frac{3x+7}{x^2-2} =\frac{\frac{3x}{x^2}+\frac{7}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2}{x^2}} =\frac{\frac{3}{x}+\frac{7}{x^2}}{1-\frac{2}{x^2}}.

Passo 4

Quando x\to+\infty, temos \frac{3}{x}\to0, \frac{7}{x^2}\to0 e \frac{2}{x^2}\to0. Logo
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{0+0}{1-0} =0.

Passo 5

Quando x\to-\infty, as frações \frac{3}{x}, \frac{7}{x^2} e \frac{2}{x^2} também tendem a zero, pois dependem de potências negativas de x. Assim
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\frac{0+0}{1-0} =0.

Resposta

(a) \,0
(b) \,0

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