Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
h(x)=\frac{7 x{3}}{x{3}-3 x^{2}+6 x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \lim_{x\to\infty}h(x) e \lim_{x\to-\infty}h(x)
para a função racional
h(x)=\frac{7x^{3}}{x^{3}-3x^{2}+6x}.
O conteúdo é limite de funções racionais e vamos usar o teorema que diz que, quando o grau do numerador e do denominador são iguais, o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Identificamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 3. Portanto o limite para x\to\pm\infty é dado por
\frac{\text{coeficiente de }x^3\text{ no numerador}}{\text{coeficiente de }x^3\text{ no denominador}} =\frac{7}{1}.

Passo 3

Para ver isso explicitamente em \lim_{x\to\infty}h(x), dividimos numerador e denominador por x^3:
h(x) =\frac{7x^3}{x^3-3x^2+6x} =\frac{7}{1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2}}.
Quando x\to\infty, os termos \tfrac{3}{x} e \tfrac{6}{x^2} tendem a zero, logo
\lim_{x\to\infty}h(x)=\frac{7}{1}=7.

Passo 4

Para \lim_{x\to-\infty}h(x) fazemos a mesma divisão por x^3 e obtemos a mesma forma
h(x)=\frac{7}{1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2}},
e como \tfrac{3}{x}\to0 e \tfrac{6}{x^2}\to0 também quando x\to-\infty, resulta
\lim_{x\to-\infty}h(x)=\frac{7}{1}=7.

Resposta

(a) 7
(b) 7

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