Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0^+ x^tg(x^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+ x^tanl(x^2r)
usando a regra de L’Hospital. Aqui temos uma pot^encia com base que tende a 0 e expoente que tende a tan(0)=0, condi\c{c}~ao t’ipica de forma indeterminada 0^0. Para resolver, vamos usar a transforma\c{c}~ao via logaritmo e a regra de L’Hospital em um limite do tipo -inftyinfty.

Passo 2

Defina
y = x^tan(x^2)
Tomando logaritmo em ambos os lados, temos
ln y = tanl(x^2r),ln x
Como tan(x^2)to0 e ln xto -infty, isso é uma indeterminação do tipo 0cdot(-infty). Vamos reescrever como quociente:

Passo 3

Reescrevendo o produto como quociente,
ln y = ln xcotl(x^2r)
Aqui ln xto -infty e cot(x^2)to +infty, gerando uma forma -inftyinfty. Agora aplicamos a regra de L’Hospital.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador em rela\c{c}~ao a x:
-- Numerador: ddx[ln x]=1x.
-- Denominador: para cot(u) com u=x^2,
ddx[cot(x^2)] =,-csc^2(x^2)cdot 2x
Pela regra de L’Hospital,
limxto0^+ln y =limxto0^+1/x-2x,csc^2(x^2) =-limxto0^+12x^2,csc^2(x^2) =-limxto0^+sin^2(x^2)2x^2
Como sin(x^2)sim x^2 quando xto0,
sin^2(x^2)2x^2simx^42x^2=x^22to0
Logo limxto0^+ln y=0.

Passo 5

Voltando de ln y para y, temos
limxto0^+y =limxto0^+e^ln y =e^0 =1

Resposta

1

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