Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a regra de L’Hospital. Aqui temos uma pot^encia com base que tende a
e expoente que tende a
, condi\c{c}~ao t’ipica de forma indeterminada
. Para resolver, vamos usar a transforma\c{c}~ao via logaritmo e a regra de L’Hospital em um limite do tipo
.
Passo 2
Defina
Tomando logaritmo em ambos os lados, temos
Como
e
, isso é uma indeterminação do tipo
. Vamos reescrever como quociente:
Passo 3
Reescrevendo o produto como quociente,
Aqui
e
, gerando uma forma
. Agora aplicamos a regra de L’Hospital.
Passo 4
Derivamos numerador e denominador em rela\c{c}~ao a
:
-- Numerador: .
-- Denominador: para com
,
-- Numerador:
-- Denominador: para
Pela regra de L’Hospital,
Como
quando
,
Logo
.
Passo 5
Voltando de
para
, temos