Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} 5^{\frac{2 x}{x+3}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função exponencial
f(x) = 5^{\frac{2x}{\,x+3\,}}
quando x\to\infty. O conteúdo envolvido é limite de potência exponencial com base fixa e usamos a continuidade da função a^t em t.

Passo 2

Para aplicar a continuidade, primeiro achamos
L = \lim_{x\to\infty} \frac{2x}{\,x+3\,}.
Dividindo numerador e denominador por x, temos
\frac{2x}{\,x+3\,} = \frac{2}{\,1 + \tfrac{3}{x}\,}
e, como \tfrac{3}{x}\to 0 quando x\to\infty,
L = \frac{2}{\,1+0\,} = 2.

Passo 3

Como a função t\mapsto 5^t é contínua para todo t, podemos passar o limite para o expoente:
\lim_{x\to\infty} 5^{\frac{2x}{\,x+3\,}} = 5^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x}{\,x+3\,}} = 5^2.

Resposta

25

Exercícios relacionados