( 2,0 pontos) Deseja-se projetar um sistema para bombear 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de água do reservatório 1 para o reservatório 2 . Vocé como engenheiro responsável deverá comprar e instalar a(s) bomba(s) para que o sistema opere. Considerando que há espaço físico para instalação de no máximo 5 bombas iguais, em paralelo, e as informações abaixo responda ao que se pede:
  • Diâmetro intemo das tubulações de sucção e descarga de 57.5 mm ;
  • Comprimento equivalente da tubulação de sucção de 10 m e da tubulação de recalque de 319 m :
  • Altura entre o líquido do reservatório 1 e a linha de centro da bomba de 4 m (reservatório está abaixo da linha de centro da bomba);
  • Altura entre o ponto de descarga e a linha de centro da bomba de 33 m ;
  • Densidade da água de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade da água de 1 cp ;
  • Rugosidade do tubo: 0,00505 \mathrm{~m}.
  • Rotação da bomba de 3550 rpm e frequência de operação de 60 Hz ;
  • Curva da bomba dada pela equação: \mathrm{H}=-0,5 . \mathrm{Q}^{2}+0.5 . \mathrm{Q}+55 ( \mathrm{H} \mathrm{em} \mathrm{m.c.a}. e \mathrm{Q} \mathrm{em} \mathrm{m} 3 / \mathrm{h} );
  • Curva de eficiência da bomba dada pela equação: \mathrm{Ef}=7,5 . \mathrm{Q} (Ef. em % e Q em m³/h).
  • \mathrm{g}=9,80655 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
    a) Qual a vazão e altura manométrica no ponto de operação, considerando a operação de apenas 1 bomba?
    b) Qual a potência fornecida para a bomba neste ponto de operação (1 bomba)?
    c) Caso com a operação de apenas uma bomba não seja possível atingir a vazão de 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, qual a quantidade mínima de bombas deverá ser instalada e qual será a nova vazão e altura manométrica?
    d) Se não for possível operar com \mathrm{a}(\mathrm{s}) bomba(s) no valor exato de 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, qual deve ser a nova rotação das bombas para que tal condição pudesse ser atingida?
    0,4 e) Com o ponto de operação determinado no item d, calcule a potência de cada uma das bombas?

Passo 1

O enunciado pede que você projete um sistema de bombeamento para transportar 6\\ \mathrm{m^3/h} de água do reservatório 1 para o reservatório 2. Dados relevantes que recebemos do enunciado (vou listar tudo que será usado nas contas):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro interno do tubo: } D=0{,}0575\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Comprimentos equivalentes: } L_{suc}=10\\ \mathrm{m},\; L_{rec}=319\\ \mathrm{m},\; L_{tot}=329\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Altura entre nível do reservatório 1 e centro da bomba: } 4\\ \mathrm{m}\\ (\text{reservatório abaixo}),\\\ &\text{Altura entre ponto de descarga e centro da bomba: } 33\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Densidade: } \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \text{viscosidade absoluta: } \mu=1\\ \mathrm{cP}=0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &\text{Rugosidade: } \varepsilon=0{,}00505\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Rotação nominal: } N_0=3550\\ \mathrm{rpm},\quad f_0=60\\ \mathrm{Hz},\\\ &\text{Curva da bomba: } H_{b}(Q)=-0{,}5\,Q^2+0{,}5\,Q+55\quad(\text{com }Q\\ \text{em }\mathrm{m^3/h},\\ H\\ \text{em m}),\\\ &\text{Eficiência: } \mathrm{Ef}(\%)=7{,}5\,Q\quad(\text{com }Q\\ \text{em }\mathrm{m^3/h}),\\\ &g=9{,}80655\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}âíóóçãê
Perguntas pedidas:
a) Para 1 bomba: qual a vazão e altura manométrica no ponto de operação?
b) Potência fornecida para a bomba neste ponto (1 bomba)?
c) Se 1 bomba não atinge 6\\ \mathrm{m^3/h}, qual o número mínimo de bombas iguais em paralelo (até 5) e qual será a nova vazão total e altura manométrica?
d) Se não for possível operar exatamente em 6\\ \mathrm{m^3/h} (com o nº de bombas escolhido), qual nova rotação das bombas faria isso?
e) Com o ponto de operação do item d, calcule a potência de cada bomba.

Passo 2

Preparação das fórmulas e conversões básicas (explicando cada coisa passo a passo).
  • Área da seção do tubo:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Aqui A em \mathrm{m^2}, D em \mathrm{m}. Calculando:
A=\frac{\pi(0{,}0575)^2}{4}=0{,}00259665\\ \mathrm{m^2}.
  • Conversão entre vazão Q em \mathrm{m^3/h} e vazão volumétrica em \mathrm{m^3/s}:
q=\frac{Q}{3600}.
  • Velocidade média no tubo:
v=\frac{q}{A}=\frac{Q}{3600\,A}.
Vou calcular uma constante útil:
3600\,A=3600\times0{,}00259665=9{,}34794,
logo
v= \frac{Q}{9{,}34794}\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{com }Q\\ \text{em }\mathrm{m^3/h}).
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}.
Com \rho/\mu=1000/0{,}001=1{,}000{,}000, obtemos
\mathrm{Re}=1{,}000{,}000\;vD=1{,}000{,}000\;D\;v.
Usando D=0{,}0575\\ \mathrm{m} e v=Q/9{,}34794 resulta numa relação direta Re versus Q:
\mathrm{Re}\approx6150{,}125\;Q\quad(\text{com }Q\\ \text{em }\mathrm{m^3/h}).
  • Perdas por atrito (Darcy–Weisbach):
h_f=f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy. As perdas totais do sistema (sucção + recalque) usam L_{tot}=329\\ \mathrm{m}.
  • Cálculo de f: como o escoamento será geralmente turbulento (Re alto) e temos rugosidade dada, uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma forma quase-empírica e prática para calcular f em regime turbulento):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Expliquei o que significa cada termo: \varepsilon rugosidade absoluta, D diâmetro, \mathrm{Re} número de Reynolds.
  • Curva do sistema (cabeça exigida pelo sistema) em função de Q:
H_{sys}(Q)=H_{estática}+h_f(Q),á
onde a cabeça estática entre superfícies é:
H_{estática}=33\\\ -\\ (-4)=37\\ \mathrm{m}á
(explicação: reservatório de sucção 4 m abaixo do centro da bomba e ponto de descarga 33 m acima => diferença geométrica total 33-(-4)=37\\ \mathrm{m}).
  • Ponto de operação: é solução de
H_b(Q)=H_{sys}(Q).
Onde H_b(Q) é a curva da bomba dada.
  • Potência hidráulica:
P_{hid}=\rho g q H\quad(\text{W}),
com q em \mathrm{m^3/s}. Potência no eixo (ou potência fornecida à bomba) considerando a eficiência \eta é:
P_{shaft}=\frac{P_{hid}}{\eta}.
A eficiência decimal \eta=\mathrm{Ef\%}/100, e a curva dada é \mathrm{Ef\%}=7{,}5\,Q (com Q em \mathrm{m^3/h}).

Passo 3

Vamos verificar se uma bomba na rotação nominal N_0 pode dar 6\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Curva da bomba em Q=6:
H_b(6)=-0{,}5\cdot6^2+0{,}5\cdot6+55=-0{,}5\cdot36+3+55=40\\ \mathrm{m}.
  • Agora calcule H_{sys}(6). Primeiro a velocidade:
v=\frac{6}{9{,}34794}=0{,}6417\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=6150{,}125\cdot6=36{,}900{,}75.
Fator de atrito (Swamee–Jain). Calculemos os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}00505}{3{,}7\cdot0{,}0575}=0{,}02374.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{(36900{,}75)^{0{,}9}}\approx0{,}0004423.
Somando e aplicando o logaritmo:
\log_{10}(\dots)=\log_{10}(0{,}024182)\approx-1{,}6165,
f\approx\frac{0{,}25}{(-1{,}6165)^2}\approx0{,}09575.
Agora as perdas:
\frac{v^2}{2g}=\frac{0{,}6417^2}{2\cdot9{,}80655}=0{,}02105\\ \mathrm{m},
\frac{L_{tot}}{D}=\frac{329}{0{,}0575}=5721{,}739,
h_f=f\frac{L_{tot}}{D}\frac{v^2}{2g}=0{,}09575\cdot5721{,}739\cdot0{,}02105\approx11{,}537\\ \mathrm{m}.
Logo
H_{sys}(6)=37+11{,}537=48{,}537\\ \mathrm{m}.
Comparando: H_b(6)=40\\ \mathrm{m} e H_{sys}(6)=48{,}537\\ \mathrm{m}. Como a bomba só entrega 40 m a 6\\ \mathrm{m^3/h}, e o sistema exige ~48,5 m, uma bomba na rotação nominal não consegue fornecer 6\\ \mathrm{m^3/h}. Portanto é necessário mais de uma bomba (ou variar rotação).

Passo 4

Determinar o ponto de operação com 1 bomba (resolvendo H_b(Q)=H_{sys}(Q) por tentativa/iteração explicada passo a passo).
Faço iterações simples (mostro valores chave) para achar Q tal que as duas curvas se cruzem.
  • Teste Q=4:
    H_b(4)=-0{,}5\cdot16+0{,}5\cdot4+55=49\\ \mathrm{m}.
    Calcule H_{sys}(4): v=0{,}4278\\ \mathrm{m/s}, \mathrm{Re}\approx24{,}600, com Swamee–Jain obtive f\approx0{,}09598. Então perdas h_f\approx5{,}126\\ \mathrm{m} e
    H_{sys}(4)=37+5{,}126=42{,}126\\ \mathrm{m}.
    Aqui H_b(4)>H_{sys}(4), a bomba “pode” empurrar mais, logo a vazão de equilíbrio será maior que 4.
  • Teste Q=5:
    H_b(5)=-0{,}5\cdot25+0{,}5\cdot5+55=45\\ \mathrm{m}.
    Para Q=5: v=0{,}53475\\ \mathrm{m/s}, \mathrm{Re}\approx30{,}750, f\approx0{,}09572. Então h_f\approx7{,}99\\ \mathrm{m} e
    H_{sys}(5)=37+7{,}99\approx44{,}99\\ \mathrm{m}.
    Aqui H_b(5)\approx45 e H_{sys}(5)\approx44{,}99 — praticamente iguais. Isso indica que o ponto de operação com uma bomba é muito próximo de
Q\approx5{,}00\\ \mathrm{m^3/h},\qquad H\approx45{,}0\\ \mathrm{m}.
(ou seja, a interseção numérica é Q\approx5{,}00\\ \mathrm{m^3/h} e H\approx45\\ \mathrm{m}.)

Passo 5

Item (b): calcular a potência fornecida à bomba no ponto de operação com 1 bomba.
Usamos a fórmula da potência hidráulica e a eficiência dada:
q=\frac{Q}{3600}=\frac{5}{3600}=0{,}00138889\\ \mathrm{m^3/s},
P_{hid}=\rho g q H=1000\cdot9{,}80655\cdot0{,}00138889\cdot45=612{,}909\\ \mathrm{W}.
Eficiência na curva:
\eta=\frac{\mathrm{Ef}\%}{100}=\frac{7{,}5\cdot5}{100}=0{,}375.
Portanto potência na bomba (eixo / fornecida):
P_{shaft}=\frac{P_{hid}}{\eta}=\frac{612{,}909}{0{,}375}=1{,}634{,}424\\ \mathrm{kW}\approx1{,}63\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Item (c): encontrar o número mínimo de bombas em paralelo (até 5) para alcançar 6\\ \mathrm{m^3/h} e as novas Q e H.
Estratégia: para n bombas idênticas em paralelo, a cabeça fornecida por cada bomba é a mesma, mas a vazão total é Q_{tot}=n\cdot q onde q é a vazão por bomba. A curva combinada é H_{b,comb}(Q_{tot})=H_b\!\left(\dfrac{Q_{tot}}{n}\right). O ponto de operação satisfaz
H_b\!\left(\frac{Q_{tot}}{n}\right)=H_{sys}(Q_{tot}).
Testei n=2 (o próximo menor candidato depois de 1) e resolvi por tentativa/iteração (mostrei as iterações principais):
  • Para n=2, busquei Q_{tot} tal que H_b(Q_{tot}/2)=H_{sys}(Q_{tot}). Pelas iterações (calculei H_b e H_{sys} para Q_{tot}=6,6,6{,}65,6{,}7, etc.) encontrei a interseção aproximada em
Q_{tot}\approx6{,}65\\ \mathrm{m^3/h},\qquad H\approx51{,}11\\ \mathrm{m}.
Resposta prática: com 2 bombas em paralelo a operação de equilíbrio fica em torno de 6{,}65\\ \mathrm{m^3/h} (vazão total) e altura manométrica \approx51{,}1\\ \mathrm{m}. Isso já ultrapassa o objetivo de 6\\ \mathrm{m^3/h}, então 2 bombas é suficiente e é o número mínimo (1 não era suficiente).
Observação: as contas mostram que com 2 bombas a vazão excede o alvo, então o mínimo de bombas necessárias para conseguir pelo menos 6\\ \mathrm{m^3/h} é n=2.

Passo 7

Item (d): se não for possível operar exatamente em 6\\ \mathrm{m^3/h} com esse número de bombas (aqui n=2 deu 6{,}65), qual deve ser a nova rotação das bombas para alcançar exatamente 6\\ \mathrm{m^3/h}?
Usamos as leis de afinidade (relembrando e explicando):
  • Se a rotação for escalada por um fator k=\dfrac{N}{N_0}, então para uma bomba idêntica: Q\propto N \Rightarrow Q_N = k\,Q_{0},
H\propto N^2 \Rightarrow H_N = k^2 H_{0},
P\propto N^3 \Rightarrow P_N = k^3 P_{0}.
Para aplicar ao problema: queremos Q_{tot}=6\\ \mathrm{m^3/h} com n=2, ou seja q=3\\ \mathrm{m^3/h} por bomba. A curva original H_b(Q) é dada para N_0. A curva para rotação N=kN_0 é
H_{b,N}(q)=k^2\,H_b\!\left(\frac{q}{k}\right).
O equilíbrio exige
k^2\,H_b\!\left(\frac{3}{k}\right)=H_{sys}(6).
Nós já calculamos H_{sys}(6)\approx48{,}537\\ \mathrm{m}. Agora substituímos a expressão de H_b:
k^2\!\left[-\tfrac{1}{2}\left(\frac{3}{k}\right)^2+\tfrac{1}{2}\left(\frac{3}{k}\right)+55\right]=48{,}537.
Desenvolvendo:
k^2\!\left[-\frac{4{,}5}{k^2}+\frac{1{,}5}{k}+55\right]=-4{,}5}+1{,}5k+55k^2=48{,}537.
Isto gera a equação quadrática em k:
55k^2+1{,}5k-53{,}037=0.
Resolvendo a equação (raiz positiva relevante):
k\approx0{,}96845.
Logo a nova rotação:
N=N_0 k=3550\cdot0{,}96845\approx3439\\ \mathrm{rpm}.
Se quiser a nova frequência (por proporcionalidade direta):
f=k f_0=0{,}96845\cdot60\approx58{,}11\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: reduzindo levemente a rotação para cerca de 3439\\ \mathrm{rpm} (ou 58{,}1\\ \mathrm{Hz}) as duas bombas em paralelo entregarão exatamente 6\\ \mathrm{m^3/h} no ponto de equilíbrio.

Passo 8

Item (e): potência de cada bomba no ponto do item (d) (ou seja, n=2, Q_{tot}=6\\ \mathrm{m^3/h}, q=3\\ \mathrm{m^3/h}, H\approx48{,}537\\ \mathrm{m}).
  • Vazão por bomba em \mathrm{m^3/s}:
q=\frac{3}{3600}=0{,}00083333\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Potência hidráulica por bomba:
P_{hid}=\rho g q H=1000\cdot9{,}80655\cdot0{,}00083333\cdot48{,}537\approx396{,}90\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência na curva (para q=3\\ \mathrm{m^3/h}):
\eta=\frac{7{,}5\cdot3}{100}=0{,}225.
  • Potência no eixo (fornecida) por bomba:
P_{shaft}=\frac{P_{hid}}{\eta}=\frac{396{,}90}{0{,}225}\approx1{,}764\\ \mathrm{kW}.
Conclusão numérica: cada bomba está fornecendo cerca de 1{,}76\\ \mathrm{kW} no novo ponto com rotação reduzida.

Resposta

a) Q\approx5{,}00\\ \mathrm{m^3/h},\quad H\approx45{,}0\\ \mathrm{m}.
b) P_{shaft}\approx1{,}63\\ \mathrm{kW} (para a bomba única no ponto de operação).
c) Número mínimo de bombas n=2. Com 2 bombas em paralelo: Q_{tot}\approx6{,}65\\ \mathrm{m^3/h},\quad H\approx51{,}1\\ \mathrm{m}.
d) Para obter exatamente 6{,}00\\ \mathrm{m^3/h} com n=2, nova rotação N\approx3439\\ \mathrm{rpm} (ou f\approx58{,}11\\ \mathrm{Hz}).
e) Com o ponto de (d) (cada bomba q=3\\ \mathrm{m^3/h}, H\approx48{,}537\\ \mathrm{m}): P_{shaft\,,\,por\;bomba}\approx1{,}76\\ \mathrm{kW}.

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