( 2,0 pontos) Deseja-se projetar um sistema para bombear
de água do reservatório 1 para o reservatório 2 . Vocé como engenheiro responsável deverá comprar e instalar a(s) bomba(s) para que o sistema opere. Considerando que há espaço físico para instalação de no máximo 5 bombas iguais, em paralelo, e as informações abaixo responda ao que se pede:
- Diâmetro intemo das tubulações de sucção e descarga de 57.5 mm ;
- Comprimento equivalente da tubulação de sucção de 10 m e da tubulação de recalque de 319 m :
- Altura entre o líquido do reservatório 1 e a linha de centro da bomba de 4 m (reservatório está abaixo da linha de centro da bomba);
- Altura entre o ponto de descarga e a linha de centro da bomba de 33 m ;
- Densidade da água de
e viscosidade da água de 1 cp ;
- Rugosidade do tubo:
.
- Rotação da bomba de 3550 rpm e frequência de operação de 60 Hz ;
- Curva da bomba dada pela equação:
(
. e
);
- Curva de eficiência da bomba dada pela equação:
(Ef. em % e Q em m³/h).
-
a) Qual a vazão e altura manométrica no ponto de operação, considerando a operação de apenas 1 bomba?
b) Qual a potência fornecida para a bomba neste ponto de operação (1 bomba)?
c) Caso com a operação de apenas uma bomba não seja possível atingir a vazão de
, qual a quantidade mínima de bombas deverá ser instalada e qual será a nova vazão e altura manométrica?
d) Se não for possível operar com
bomba(s) no valor exato de
, qual deve ser a nova rotação das bombas para que tal condição pudesse ser atingida?
0,4 e) Com o ponto de operação determinado no item d, calcule a potência de cada uma das bombas?
a) Qual a vazão e altura manométrica no ponto de operação, considerando a operação de apenas 1 bomba?
b) Qual a potência fornecida para a bomba neste ponto de operação (1 bomba)?
c) Caso com a operação de apenas uma bomba não seja possível atingir a vazão de
d) Se não for possível operar com
0,4 e) Com o ponto de operação determinado no item d, calcule a potência de cada uma das bombas?
Passo 1
O enunciado pede que você projete um sistema de bombeamento para transportar
de água do reservatório 1 para o reservatório 2. Dados relevantes que recebemos do enunciado (vou listar tudo que será usado nas contas):
Perguntas pedidas:
a) Para 1 bomba: qual a vazão e altura manométrica no ponto de operação?
b) Potência fornecida para a bomba neste ponto (1 bomba)?
c) Se 1 bomba não atinge , qual o número mínimo de bombas iguais em paralelo (até 5) e qual será a nova vazão total e altura manométrica?
d) Se não for possível operar exatamente em (com o nº de bombas escolhido), qual nova rotação das bombas faria isso?
e) Com o ponto de operação do item d, calcule a potência de cada bomba.
a) Para 1 bomba: qual a vazão e altura manométrica no ponto de operação?
b) Potência fornecida para a bomba neste ponto (1 bomba)?
c) Se 1 bomba não atinge
d) Se não for possível operar exatamente em
e) Com o ponto de operação do item d, calcule a potência de cada bomba.
Passo 2
Preparação das fórmulas e conversões básicas (explicando cada coisa passo a passo).
- Área da seção do tubo:
Aqui
em
,
em
. Calculando:
- Conversão entre vazão
em e vazão volumétrica em :
- Velocidade média no tubo:
Vou calcular uma constante útil:
logo
- Número de Reynolds:
Com
, obtemos
Usando
e
resulta numa relação direta Re versus
:
- Perdas por atrito (Darcy–Weisbach):
onde
é o fator de atrito de Darcy. As perdas totais do sistema (sucção + recalque) usam
.
- Cálculo de
: como o escoamento será geralmente turbulento (Re alto) e temos rugosidade dada, uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma forma quase-empírica e prática para calcular em regime turbulento):
Expliquei o que significa cada termo:
rugosidade absoluta,
diâmetro,
número de Reynolds.
- Curva do sistema (cabeça exigida pelo sistema) em função de
:
onde a cabeça estática entre superfícies é:
(explicação: reservatório de sucção 4 m abaixo do centro da bomba e ponto de descarga 33 m acima => diferença geométrica total
).
- Ponto de operação: é solução de
Onde
é a curva da bomba dada.
- Potência hidráulica:
com
em
. Potência no eixo (ou potência fornecida à bomba) considerando a eficiência
é:
A eficiência decimal
, e a curva dada é
(com
em
).
Passo 3
Vamos verificar se uma bomba na rotação nominal
pode dar
.
- Curva da bomba em
:
- Agora calcule
. Primeiro a velocidade:
Número de Reynolds:
Fator de atrito (Swamee–Jain). Calculemos os termos:
Somando e aplicando o logaritmo:
Agora as perdas:
Logo
Comparando:
e
. Como a bomba só entrega 40 m a
, e o sistema exige ~48,5 m, uma bomba na rotação nominal não consegue fornecer
. Portanto é necessário mais de uma bomba (ou variar rotação).
Passo 4
Determinar o ponto de operação com 1 bomba (resolvendo
por tentativa/iteração explicada passo a passo).
Faço iterações simples (mostro valores chave) para achar
tal que as duas curvas se cruzem.
-
Teste
: Calcule: , , com Swamee–Jain obtive . Então perdas e Aqui, a bomba “pode” empurrar mais, logo a vazão de equilíbrio será maior que . -
Teste
: Para: , , . Então e Aquie — praticamente iguais. Isso indica que o ponto de operação com uma bomba é muito próximo de
(ou seja, a interseção numérica é
e
.)
Passo 5
Item (b): calcular a potência fornecida à bomba no ponto de operação com 1 bomba.
Usamos a fórmula da potência hidráulica e a eficiência dada:
Eficiência na curva:
Portanto potência na bomba (eixo / fornecida):
Passo 6
Item (c): encontrar o número mínimo de bombas em paralelo (até 5) para alcançar
e as novas
e
.
Estratégia: para
bombas idênticas em paralelo, a cabeça fornecida por cada bomba é a mesma, mas a vazão total é
onde
é a vazão por bomba. A curva combinada é
. O ponto de operação satisfaz
Testei
(o próximo menor candidato depois de 1) e resolvi por tentativa/iteração (mostrei as iterações principais):
- Para
, busquei tal que . Pelas iterações (calculei e para etc.) encontrei a interseção aproximada em
Resposta prática: com
bombas em paralelo a operação de equilíbrio fica em torno de
(vazão total) e altura manométrica
. Isso já ultrapassa o objetivo de
, então 2 bombas é suficiente e é o número mínimo (1 não era suficiente).
Observação: as contas mostram que com 2 bombas a vazão excede o alvo, então o mínimo de bombas necessárias para conseguir pelo menos
é
.
Passo 7
Item (d): se não for possível operar exatamente em
com esse número de bombas (aqui
deu
), qual deve ser a nova rotação das bombas para alcançar exatamente
?
Usamos as leis de afinidade (relembrando e explicando):
- Se a rotação for escalada por um fator
, então para uma bomba idêntica:
Para aplicar ao problema: queremos
com
, ou seja
por bomba. A curva original
é dada para
. A curva para rotação
é
O equilíbrio exige
Nós já calculamos
. Agora substituímos a expressão de
:
Desenvolvendo:
Isto gera a equação quadrática em
:
Resolvendo a equação (raiz positiva relevante):
Logo a nova rotação:
Se quiser a nova frequência (por proporcionalidade direta):
Interpretação: reduzindo levemente a rotação para cerca de
(ou
) as duas bombas em paralelo entregarão exatamente
no ponto de equilíbrio.
Passo 8
Item (e): potência de cada bomba no ponto do item (d) (ou seja,
,
,
,
).
- Vazão por bomba em
:
- Potência hidráulica por bomba:
- Eficiência na curva (para
):
- Potência no eixo (fornecida) por bomba:
Conclusão numérica: cada bomba está fornecendo cerca de
no novo ponto com rotação reduzida.
Resposta
a)
b) (para a bomba única no ponto de operação).
c) Número mínimo de bombas . Com 2 bombas em paralelo:
d) Para obter exatamente com
, nova rotação
(ou
).
e) Com o ponto de (d) (cada bomba ,
):
b)
c) Número mínimo de bombas
d) Para obter exatamente
e) Com o ponto de (d) (cada bomba