(Linearidade da integral de linha) Mostre que se f, g são campos escalares contínuos e se C é uma curva parametrizada contida em \operatorname{Dom}(f) \cap \operatorname{Dom}(g), então
\int_{C}(a f+b g) d s=a \int_{C} f d s+b \int_{C} g d s \quad(a, b \in \mathbb{R})
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade de linearidade da integral de linha (em relação a campos escalares). As informações dadas são:
f e g são campos escalares contínuos em seus domínios.
C é uma curva parametrizada contida em \operatorname{Dom}(f)\cap\operatorname{Dom}(g).
a e b são números reais, isto é, a,b\in\mathbb{R}.
O objetivo explícito é provar que
\int_{C}\bigl(a f+b g\bigr)\,d s = a\int_{C} f\,d s + b\int_{C} g\,d s.
Passo 2
Vamos lembrar e fixar a definição prática da integral de linha de um campo escalar (essa é a peça teórica que usamos na prova). Suponha que C seja dada por uma parametrização suave
com \mathbf{r} diferenciável e \mathbf{r}' contínua (ou seja, C é suave ou peça‑a‑peça suave). Para um campo escalar contínuo h definido em C, a integral de linha de h ao longo de C é definida por
\int_{C} h\,d s \;=\; \int_{\alpha}^{\beta} h\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui:
\mathbf{r}(t) é o ponto da curva correspondente ao parâmetro t.
\mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial; \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| é a norma (módulo) desse vetor e representa a velocidade escalar: d s = \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
A integral à direita é uma integral de Riemann (ou de Riemann–Stieltjes reduzida ao caso usual), e está bem definida quando a função integranda é integrável.
Passo 3
Justificativa de integrabilidade: como f e g são contínuos em \operatorname{Dom}(f)\cap\operatorname{Dom}(g) e \mathbf{r} é contínua, as composições f\circ\mathbf{r} e g\circ\mathbf{r} são contínuas em [\alpha,\beta]. Além disso, \|\mathbf{r}'(t)\| é contínua. O produto de funções contínuas é contínuo, então as funções
são contínuas em [\alpha,\beta] e, portanto, Riemann‑integráveis. Logo as integrais de linha \int_C f\,ds e \int_C g\,ds existem (estão bem definidas).
Passo 4
Escrevemos a integral de linha do combinado a f + b g em termos da parametrização:
\int_{C}\bigl(a f+b g\bigr)\,d s = \int_{\alpha}^{\beta} \bigl(a f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) + b g\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui apenas substituímos h=a f+b g na definição e usamos h(\mathbf{r}(t))=a f(\mathbf{r}(t))+b g(\mathbf{r}(t)).
Passo 5
Reescrevemos a integranda agrupando termos:
\bigl(a f(\mathbf{r}(t)) + b g(\mathbf{r}(t))\bigr)\,\|\mathbf{r}'(t)\| = a\bigl(f(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|\bigr) + b\bigl(g(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|\bigr).
Isto é apenas a distributividade da multiplicação sobre a soma.
Passo 6
Agora aplicamos a propriedade de linearidade da integral de Riemann (aqui dou uma mini‑aula rápida sobre isso): se u(t) e v(t) são funções integráveis em [\alpha,\beta] e a,b\in\mathbb{R}, então
Uma justificativa elementar é olhar para as somas de Riemann: em uma soma de Riemann, a soma de a u e b v é a vezes a soma de u mais b vezes a soma de v; ao fazer o limite das partições (definição da integral), os fatores a e b saem e a igualdade se mantém. Como já vimos no Passo 3, as funções envolvidas aqui são integráveis, então podemos aplicar essa linearidade.
Voltando à notação de integral de linha, as integrais no lado direito são exatamente \int_C f\,ds e \int_C g\,ds. Portanto concluímos
\int_{C}\bigl(a f+b g\bigr)\,d s = a\int_{C} f\,d s + b\int_{C} g\,d s.
Passo 9
Observação prática: se C for apenas peça‑a‑peça suave (ou seja, parametrizada por trechos \mathbf{r}_1,\dots,\mathbf{r}_k), aplica‑se o mesmo argumento em cada trecho e depois soma‑se as parcelas; a linearidade vale em cada trecho e, somando, vale para toda a curva.
Resposta
\int_{C}\bigl(a f+b g\bigr)\,d s = a\int_{C} f\,d s + b\int_{C} g\,d s.