A base de um muro é a curva C do plano definida por x=30 \cos ^{3} t e y=30 \sin ^{3} t, t \in[0, \pi], e sua altura é dada por f(x, y)=1+\frac{|y|}{3}(x, y \mathrm{em} metros ). Se um pintor cobra R \ 20,00para pintar om^{2}$, quanto ele cobrará para pintar o muro?
Passo 1
O enunciado pede o custo que o pintor cobrará para pintar todo o muro, sabendo que ele cobra \text{R\$ }20{,}00 por metro quadrado. Informações dadas pelo enunciado:
(essa é a curva C que é a base do muro) e a altura do muro em cada ponto (x,y) é
f(x,y)=1+\frac{|y|}{3},
com x,y em metros. Queremos o valor total a pagar pelo pintor, ou seja, o custo = (área a pintar) \times\text{R\$ }20{,}00.
Passo 2
Interpretação geométrica e método (o porquê do que vamos calcular).
Quando uma parede é erguida verticalmente ao longo de uma curva plana C e a altura nessa curva varia conforme f(x,y), a área total da superfície vertical é dada pela integral de linha
\text{Área}=\int_{C} f(x,y)\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento ao longo da curva. Intuitivamente, imagine a curva sendo dividida em pequenos pedaços de comprimento ds; cada pedaço gera uma faixa vertical de área f(x,y)\,ds. Então somamos (integrando) ao longo de toda a curva. Vou calcular \displaystyle\int_{C} f\,ds usando a parametrização dada por t.
Passo 3
Fórmula da integral de linha em parametrização e cálculo dos diferenciais.
Se (x(t),y(t)) parametrize C para t\in[a,b], então
Resolver a integral por substituição.
Faça a substituição u=\sin t. Então du=\cos t\,dt. Quando t=0 temos u=0 e quando t=\pi/2 temos u=1. A integral torna-se