A base de um muro é a curva C do plano definida por x=30 \cos ^{3} t e y=30 \sin ^{3} t, t \in[0, \pi], e sua altura é dada por f(x, y)=1+\frac{|y|}{3}(x, y \mathrm{em} metros ). Se um pintor cobra R \ 20,00 para pintar om^{2}$, quanto ele cobrará para pintar o muro?

Passo 1

O enunciado pede o custo que o pintor cobrará para pintar todo o muro, sabendo que ele cobra \text{R\$ }20{,}00 por metro quadrado. Informações dadas pelo enunciado:
x=30\cos^{3}t,\quad y=30\sin^{3}t,\quad t\in[0,\pi]
(essa é a curva C que é a base do muro) e a altura do muro em cada ponto (x,y) é
f(x,y)=1+\frac{|y|}{3},
com x,y em metros. Queremos o valor total a pagar pelo pintor, ou seja, o custo = (área a pintar) \times \text{R\$ }20{,}00.

Passo 2

Interpretação geométrica e método (o porquê do que vamos calcular).
Quando uma parede é erguida verticalmente ao longo de uma curva plana C e a altura nessa curva varia conforme f(x,y), a área total da superfície vertical é dada pela integral de linha
\text{Área}=\int_{C} f(x,y)\,ds,Á
onde ds é o elemento de comprimento ao longo da curva. Intuitivamente, imagine a curva sendo dividida em pequenos pedaços de comprimento ds; cada pedaço gera uma faixa vertical de área f(x,y)\,ds. Então somamos (integrando) ao longo de toda a curva. Vou calcular \displaystyle\int_{C} f\,ds usando a parametrização dada por t.

Passo 3

Fórmula da integral de linha em parametrização e cálculo dos diferenciais.
Se (x(t),y(t)) parametrize C para t\in[a,b], então
ds=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt,
e
\int_{C} f\,ds=\int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Vamos calcular x'(t) e y'(t) para x=30\cos^{3}t e y=30\sin^{3}t.
Derivando:
x'(t)=30\cdot 3\cos^{2}t\cdot(-\sin t)=-90\cos^{2}t\sin t,
y'(t)=30\cdot 3\sin^{2}t\cdot\cos t=90\sin^{2}t\cos t.

Passo 4

Cálculo de \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}.
Calculemos o quadrado e some:
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}=(-90\cos^{2}t\sin t)^{2}+(90\sin^{2}t\cos t)^{2}
=8100\cos^{4}t\sin^{2}t+8100\sin^{4}t\cos^{2}t
=8100\cos^{2}t\sin^{2}t\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)=8100\cos^{2}t\sin^{2}t,
porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Portanto
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}=90\,|\cos t|\,\sin t.
Observação sobre o valor absoluto: para t\in[0,\pi] temos \sin t\ge 0, enquanto \cos t muda de sinal em t=\pi/2. Por isso aparece |\cos t|.

Passo 5

Avaliar f\bigl(x(t),y(t)\bigr).
Temos y(t)=30\sin^{3}t. Para t\in[0,\pi] vale \sin t\ge0, logo y(t)\ge0 e |y(t)|=y(t)=30\sin^{3}t. Assim
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=1+\frac{|y(t)|}{3}=1+\frac{30\sin^{3}t}{3}=1+10\sin^{3}t.

Passo 6

Montar a integral da área.
Usando a expressão de f e de ds,
\text{Área}=\int_{0}^{\pi}\bigl(1+10\sin^{3}t\bigr)\cdot 90\,|\cos t|\,\sin t\,dt.Á
Para lidar com |\cos t| observe simetria: o integrando é simétrico em torno de t=\pi/2. Podemos escrever
\int_{0}^{\pi} (\cdots)\,dt = 2\int_{0}^{\pi/2} (\cdots)\,dt,
e em [0,\pi/2] temos |\cos t|=\cos t. Portanto
\text{Área}=2\cdot 90\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1+10\sin^{3}t\bigr)\sin t\cos t\,dt.Á
Simplificando o fator fora da integral:
\text{Área}=180\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1+10\sin^{3}t\bigr)\sin t\cos t\,dt.Á

Passo 7

Resolver a integral por substituição.
Faça a substituição u=\sin t. Então du=\cos t\,dt. Quando t=0 temos u=0 e quando t=\pi/2 temos u=1. A integral torna-se
\text{Área}=180\int_{0}^{1}\bigl(1+10u^{3}\bigr)u\,du =180\int_{0}^{1}\bigl(u+10u^{4}\bigr)\,du.Á
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}u\,du=\left.\tfrac{1}{2}u^{2}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2},
\int_{0}^{1}10u^{4}\,du=10\left.\tfrac{1}{5}u^{5}\right|_{0}^{1}=10\cdot\tfrac{1}{5}=2.
Somando:
\int_{0}^{1}\bigl(u+10u^{4}\bigr)\,du=\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{5}{2}=2{,}5.
Logo
\text{Área}=180\cdot 2{,}5=450\\ \text{m}^{2}.Á

Passo 8

Calcular o custo do pintor.
O pintor cobra \text{R\$ }20{,}00 por metro quadrado. Então o custo total é
\text{Custo}=450\cdot 20=\;9000\\ \text{(reais)}.

Resposta

\text{R\$ }9000{,}00

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