(Independência da parametrização) Mostre que a integral de linha \int_{C} f d s não depende da parametrização escolhida para C. Mais precisamente, mostre que se r(t), t \in[a, b], é uma parametrização de C e se \alpha(t), t \in[c, d], é uma reparametrização de C, então
\int_{a}^{b} f(r(t))\left\|r^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{c}^{d} f(\alpha(t))\left\|\alpha^{\prime}(t)\right\| d t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha com respeito ao comprimento de arco
\int_{C} f\,ds
é independente da parametrização. Mais precisamente, somos dados duas parametrizações do mesmo caminho C:
r(t),\\ t\in[a,b],
e
\alpha(t),\\ t\in[c,d],
sendo que \alpha é uma reparametrização de r. Ou seja, existe uma função \varphi:[c,d]\to[a,b] tal que
\alpha(t)=r(\varphi(t))\quad\text{para todo }t\in[c,d].
Lista das informações relevantes que vamos usar (pressupostos padrão para este resultado):
  • r é diferenciável em [a,b] e r'(t) é contínua (ou pelo menos integrável) e não nula praticamente em toda parte onde o arco é regular.
  • \varphi é bijetora, de classe C^1 em [c,d] e \varphi'(t) não muda de sinal (isto é, \varphi é monotona), de modo que \varphi fornece uma reparametrização regular de r.
  • A função f é adequada para que as integrais consideradas existam (por exemplo, f\circ r integrável).
O que precisamos provar:
\int_{a}^{b} f(r(t))\left\|r^{\prime}(t)\right\|\,dt=\int_{c}^{d} f(\alpha(t))\left\|\alpha^{\prime}(t)\right\|\,dt.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para derivadas à composição \alpha(t)=r(\varphi(t)). A regra da cadeia diz que, se r e \varphi são diferenciáveis então a derivada da composição é dada por derivada externa avaliada na interior vezes a derivada interior. Em símbolos:
\alpha'(t)=\frac{d}{dt}r(\varphi(t))=r'(\varphi(t))\cdot\varphi'(t).
Aqui r'(\varphi(t)) é o vetor derivada de r avaliado no parâmetro \varphi(t) e \varphi'(t) é o número real derivada da função escala \varphi. A multiplicação indica escala do vetor por esse número.

Passo 3

Tomamos normas (comprimentos) dos vetores. A norma satisfaz \|c v\|=|c|\,\|v\| para qualquer escalar c e vetor v. Aplicando isso ao resultado do passo anterior obtemos
\left\|\alpha'(t)\right\|=\left\|r'(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\right\|=|\varphi'(t)|\;\left\|r'(\varphi(t))\right\|.
Esse é um passo-chave: a norma do vetor derivada da reparametrização é a norma da derivada original multiplicada pelo valor absoluto da derivada da mudança de parâmetro.

Passo 4

Escrevemos a integral na parametrização \alpha usando a expressão da norma obtida:
\int_{c}^{d} f(\alpha(t))\left\|\alpha'(t)\right\|\,dt = \int_{c}^{d} f\bigl(r(\varphi(t))\bigr)\,|\varphi'(t)|\,\left\|r'(\varphi(t))\right\|\,dt.
Agora vemos que o integrando é exatamente a composição de f(r(\cdot))\left\|r'(\cdot)\right\| com \varphi, multiplicada por |\varphi'(t)|. Isso prepara para a mudança de variável.

Passo 5

Fazemos a mudança de variável padrão u=\varphi(t). Como \varphi é C^1 e monotona em [c,d], ela é bijetora de [c,d] sobre [a,b] (ou sobre [b,a] se for decrescente). A mudança de variável diz que
du=\varphi'(t)\,dt,
ou, em termos de integrais com valor absoluto para cobrir o caso decrescente,
|\varphi'(t)|\,dt=|du|.
Procedemos com cuidado com os limites:
  • Se \varphi é crescente ( \varphi'(t)\ge 0), então \varphi\text{(c)}=a e \varphi(d)=b, e a substituição direta dá
\int_{c}^{d} f\bigl(r(\varphi(t))\bigr)\,|\varphi'(t)|\,\left\|r'(\varphi(t))\right\|\,dt = \int_{a}^{b} f\bigl(r(u)\bigr)\,\left\|r'(u)\right\|\,du.
  • Se \varphi é decrescente ( \varphi'(t)\le 0), então \varphi\text{(c)}=b e \varphi(d)=a. Ao substituir u=\varphi(t) temos du=\varphi'(t)\,dt com \varphi'(t)<0, de modo que as extremidades trocam de ordem. O fator |\varphi'(t)| elimina o sinal negativo e a troca de limites reverte novamente, resultando também em
\int_{c}^{d} f\bigl(r(\varphi(t))\bigr)\,|\varphi'(t)|\,\left\|r'(\varphi(t))\right\|\,dt = \int_{a}^{b} f\bigl(r(u)\bigr)\,\left\|r'(u)\right\|\,du.
Em ambos os casos a mudança de variável conduz à mesma integral sobre [a,b].

Passo 6

Concluímos juntando os passos: a integral na parametrização \alpha transforma-se, pela regra da cadeia e pela substituição u=\varphi(t), exatamente na integral na parametrização r. Ou seja,
\int_{c}^{d} f(\alpha(t))\left\|\alpha'(t)\right\|\,dt = \int_{a}^{b} f(r(u))\left\|r'(u)\right\|\,du.
Isso prova que a integral de linha \int_C f\,ds não depende da parametrização escolhida (desde que a reparametrização seja regular, C^1 e bijetora).

Resposta

\int_{a}^{b} f(r(t))\left\|r^{\prime}(t)\right\|\,dt=\int_{c}^{d} f(\alpha(t))\left\|\alpha^{\prime}(t)\right\|\,dt

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