A linearização L(x) de uma função f(x) no ponto x=x_{0} pode ser realizada pela seguinte fórmula
f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left.\left(x-x_{0}\right) \frac{d f}{d x}\right|_{x=x_{0}}
Encontre a linearização das funções a seguir no ponto x=x_{0}
f(x)=\operatorname{sen}(x), x_{0}=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x)=\sin(x) em torno de x_0=\tfrac{\pi}{2}. O conteúdo é a aproximação linear (primeira ordem de Taylor), que usa a fórmula
L(x)=f(x_0)+(x-x_0)\,f'(x_0).

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x). Como f(x)=\sin(x), temos
f'(x)=\cos(x).

Passo 3

Avaliamos a função e a derivada em x_0=\tfrac{\pi}{2}:
f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

Substituímos em
L(x)=f(x_0)+(x-x_0)\,f'(x_0)
obtendo
L(x)=1+(x-\tfrac{\pi}{2})\cdot0=1.

Resposta

A linearização é
L(x)=1.

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