Linearize o modelo abaixo em torno do ponto de operação h=h_{S}
\begin{aligned} & \frac{d\left(h^{3}\right)}{d t}=K \sqrt{h} \\\ & \text { R: } \frac{d h}{d t}=\frac{K}{3} h_{S}^{-1,5}-\frac{K}{2} h_{S}^{-2,5}\left(h-h_{S}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para linearizar o modelo dado em torno do ponto de operação h = h_{S}. As informações relevantes que o enunciado dá são:
\frac{d\left(h^{3}\right)}{d t}=K \sqrt{h}.
O objetivo final é obter uma aproximação linear (uma expansão de primeira ordem) para \dfrac{d h}{d t} em torno de h=h_{S}. Não vamos resolver para h(t); vamos somente aproximar a função que descreve \dfrac{d h}{d t} por uma função linear em (h-h_{S}).

Passo 2

Primeiro vamos transformar a equação dada para uma forma explícita para \dfrac{d h}{d t}. Use a regra da cadeia para derivar h^{3} em relação a t: se y(h)=h^{3} então \dfrac{d(h^{3})}{dt}=\dfrac{d(h^{3})}{dh}\cdot\dfrac{dh}{dt}. A derivada de h^{3} em relação a h é 3h^{2}. Portanto:
\frac{d\left(h^{3}\right)}{d t}=3h^{2}\frac{dh}{dt}.

Passo 3

Substituindo isso na equação original obtemos:
3h^{2}\frac{dh}{dt}=K\sqrt{h}.
Agora isolamos \dfrac{dh}{dt} dividindo ambos os lados por 3h^{2}:
\frac{dh}{dt}=\frac{K\sqrt{h}}{3h^{2}}.

Passo 4

Simplificamos a potência de h. Lembre que \sqrt{h}=h^{1/2} e h^{2}=h^{2}, então
\frac{dh}{dt}=\frac{K}{3}h^{1/2-2}=\frac{K}{3}h^{-3/2}.
Definimos a função não linear
f(h)=\frac{K}{3}h^{-3/2},
de modo que estamos interessados em linearizar f(h) ao redor de h=h_{S}.

Passo 5

Explico a ideia de linearização (passo a passo, tipo “aula rápida”): a linearização de uma função f(h) em torno de h=h_{S} é dada pela expansão de Taylor de primeira ordem
f(h)\approx f(h_{S})+f'(h_{S})\,(h-h_{S}).
Aqui f(h_{S}) é o valor da função no ponto de operação e f'(h_{S}) é a derivada de f avaliada em h_{S}. Essa aproximação diz que, para desvios pequenos (h-h_{S}), f(h) pode ser aproximada por uma reta.

Passo 6

Vamos calcular a derivada f'(h). Use a regra do poder: se g(h)=h^{\alpha} então g'(h)=\alpha h^{\alpha-1}. Aplicando a f(h)=\dfrac{K}{3}h^{-3/2} temos
f'(h)=\frac{K}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)h^{-3/2-1}.
Simplificando os fatores:
f'(h)=-\frac{K}{2}h^{-5/2}.
(Detalhe: multiplicamos \dfrac{K}{3} por -\dfrac{3}{2}; os 3 se cancelam deixando -\dfrac{K}{2}.)

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da linearização em h=h_{S}:
\frac{dh}{dt}=f(h)\approx f(h_{S})+f'(h_{S})\,(h-h_{S}).
Substituindo f(h_{S}) e f'(h_{S}) obtidos:
\frac{dh}{dt}\approx \frac{K}{3}h_{S}^{-3/2}-\frac{K}{2}h_{S}^{-5/2}\,(h-h_{S}).
Essa é a aproximação linear de primeira ordem em torno de h=h_{S}. Interprete: a primeira parcela é o valor da taxa em h_{S} e a segunda parcela dá a sensibilidade linear da taxa a pequenas variações de h.

Resposta

\frac{dh}{dt}=\frac{K}{3}h_{S}^{-\tfrac{3}{2}}-\frac{K}{2}h_{S}^{-\tfrac{5}{2}}(h-h_{S})

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