Linearize o modelo abaixo em torno do ponto de operação
Passo 1
O enunciado pede para linearizar o modelo dado em torno do ponto de operação
. As informações relevantes que o enunciado dá são:
O objetivo final é obter uma aproximação linear (uma expansão de primeira ordem) para
em torno de
. Não vamos resolver para
; vamos somente aproximar a função que descreve
por uma função linear em
.
Passo 2
Primeiro vamos transformar a equação dada para uma forma explícita para
. Use a regra da cadeia para derivar
em relação a
: se
então
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 3
Substituindo isso na equação original obtemos:
Agora isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Simplificamos a potência de
. Lembre que
e
, então
Definimos a função não linear
de modo que estamos interessados em linearizar
ao redor de
.
Passo 5
Explico a ideia de linearização (passo a passo, tipo “aula rápida”): a linearização de uma função
em torno de
é dada pela expansão de Taylor de primeira ordem
Aqui
é o valor da função no ponto de operação e
é a derivada de
avaliada em
. Essa aproximação diz que, para desvios pequenos
,
pode ser aproximada por uma reta.
Passo 6
Vamos calcular a derivada
. Use a regra do poder: se
então
. Aplicando a
temos
Simplificando os fatores:
(Detalhe: multiplicamos
por
; os
se cancelam deixando
.)
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da linearização em
:
Substituindo
e
obtidos:
Essa é a aproximação linear de primeira ordem em torno de
. Interprete: a primeira parcela é o valor da taxa em
e a segunda parcela dá a sensibilidade linear da taxa a pequenas variações de
.