a) Linearize em torno do ponto de operação no estado estacionário, o sistema de EDO’s abaixo que descreve um CSTR não isotérmico com volume constante. As variáveis de entrada são \mathrm{T}_{0}, \mathrm{~T}_{\mathrm{J}}, \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0} e F . Considere que \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0} e F são constantes ao longo do tempo.
\begin{aligned} & V \frac{d C_{A}}{d t}=F\left(C_{A 0}-C_{A}\right)-V k C_{A} \\\ & V \rho C_{P} \frac{d T}{d t}=F \rho C_{P}\left(T_{0}-T\right)-\lambda V k C_{A}-U A\left(T-T_{J}\right) \\\ & \text { onde } k=k_{0} e^{\frac{-E}{R T}} \end{aligned}
\begin{aligned} & \frac{d C_{A}}{d t}=\left[-\frac{F}{V}-k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}\right]\left(C_{A}-C_{A S}\right)-\frac{E C_{A S} k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}}{R T_{S}^{2}}\left(T-T_{S}\right) \\\ & \frac{d T}{d t}=\left[-\frac{F}{V}-\frac{\lambda E C_{A S} k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}}{\rho C_{p} R T_{S}^{2}}-\frac{U A}{\rho V C_{p}}\right]\left(T-T_{S}\right)-\frac{\lambda k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}}{\rho C_{p}}\left(C_{A}-C_{A S}\right)+ \end{aligned}
R: \frac{F}{V}\left(T_{0}-T_{0 S}\right)+\frac{U A}{\rho V C_{p}}\left(T_{J}-T_{J S}\right)
b) Reescreva o sistema linearizado no item a) na forma matricial
\left[\begin{array}{l} \frac{d\left(C_{A}-C_{A S}\right)}{d t} \\\ \frac{d\left(T-T_{S}\right)}{d t} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -\frac{F}{V}-k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}} & -\frac{E C_{A S} k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}}{R T_{S}^{2}} \\\\ -\frac{\lambda k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}}{\rho C_{p}} & -\frac{F}{V}-\frac{\lambda E C_{A S} k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}}{\rho C_{p} R T_{S}^{2}}-\frac{U A}{\rho V C_{p}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} C_{A}-C_{A S} \\\ T-T_{S} \end{array}\right]
R:
+\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\ \frac{F}{V} & \frac{U A}{\rho V C_{p}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} T_{0}-T_{0 S} \\\ T_{J}-T_{J S} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Linearizar, em torno do ponto de operação no estado estacionário, o sistema de EDO’s de um CSTR não isotérmico com volume constante; as variáveis de entrada são T_{0}, T_{J}, C_{A0} e F. Foi indicado considerar C_{A0} e F constantes ao longo do tempo, ou seja, apenas T_{0} e T_{J} serão tratadas como entradas dinâmicas nas pequenas variações.
  2. Reescrever o sistema linearizado na forma matricial do tipo \Delta \dot{x} = A \Delta x + B \Delta u.
Informações e equações dadas (copiadas do enunciado):
\begin{aligned} & V \frac{d C_{A}}{d t}=F\left(C_{A0}-C_{A}\right)-V k C_{A},\\[4pt] & V \rho C_{P} \frac{d T}{d t}=F \rho C_{P}\left(T_{0}-T\right)-\lambda V k C_{A}-U A\left(T-T_{J}\right),\\[4pt] & \text{onde } k=k_{0} e^{\frac{-E}{R T}}. \end{aligned}
Ponto de operação (estado estacionário) designado por subscrito S:
  • C_{A S}, T_{S}, T_{0 S}, T_{J S} satisfazem as equações de equilíbrio (derivadas iguais a zero).
  • Vamos trabalhar com pequenas variações em torno desse ponto: \Delta C_A = C_A - C_{A S}, \Delta T = T - T_S, \Delta T_0 = T_0 - T_{0 S}, \Delta T_J = T_J - T_{J S}.
Observação importante (dada no enunciado): considerar C_{A0} e F constantes no tempo para a linearização como entradas efetivamente invariantes.
A resolução a partir daqui começa no próximo passo.]

Passo 2

Estratégia de linearização e conceitos usados (explicação didática curta e prática):
  • Quando temos um sistema não linear \dot{x}=f(x,u), a linearização em torno de um ponto de equilíbrio (x_S,u_S) usa a aproximação por série de Taylor de primeira ordem:
\Delta\dot{x} \approx \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_S,u_S)}\Delta x + \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(x_S,u_S)}\Delta u.
  • As matrizes \displaystyle A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(S)} e \displaystyle B=\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(S)} são chamadas de jacobianas avaliadas no ponto de operação.
  • Vamos identificar x = \begin{bmatrix}C_A\\[2pt] T\end{bmatrix} e u = \begin{bmatrix}T_0\\[2pt] T_J\end{bmatrix} (já que C_{A0} e F são constantes).
  • Precisamos calcular todas as derivadas parciais \partial f_i/\partial x_j e \partial f_i/\partial u_j avaliadas em C_{A S},T_S,T_{0S},T_{J S}.
Antes de derivar, calculemos a derivada de k(T), que aparece em várias parcelas:
k(T)=k_0 e^{-E/(R T)}.
Derivando em relação a T (mostro passo a passo):
\frac{d}{dT}\left(-\frac{E}{R T}\right)=\frac{E}{R T^{2}},
portanto
\frac{dk}{dT}=k_0 e^{-E/(R T)}\cdot\frac{E}{R T^{2}} = k(T)\cdot\frac{E}{R T^{2}}.
Isso é importante: a variação de k com T é proporcional a k multiplicado por \dfrac{E}{R T^{2}}.]

Passo 3

Linearização do primeiro equacionamento (massa do reagente A). Escrever a equação em forma explícita de \dot{C}_A:
\frac{d C_{A}}{d t} = \frac{F}{V}(C_{A0}-C_A) - k(T) C_A.
Denote f_1(C_A,T,u)=\dfrac{F}{V}(C_{A0}-C_A) - k(T) C_A.
Calcule as derivadas parciais necessárias e avalie no ponto de operação:
  1. \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial C_A} = -\frac{F}{V} - k(T). Avaliando em T_S:
a_{11} = \left.\frac{\partial f_1}{\partial C_A}\right|_{S} = -\frac{F}{V} - k_S, \quad\text{onde } k_S = k_0 e^{-E/(R T_S)}.
  1. \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial T} = -C_A\frac{dk}{dT}. Usando \frac{dk}{dT}=k(T)\frac{E}{R T^{2}}, obtemos
\frac{\partial f_1}{\partial T} = -C_A\,k(T)\frac{E}{R T^{2}}.
Avaliando em C_{A S},T_S:
a_{12} = \left.\frac{\partial f_1}{\partial T}\right|_{S} = -C_{A S} k_S \frac{E}{R T_{S}^{2}}.
  1. Derivações em relação às entradas T_0 e T_J: neste primeiro equacionamento f_1 não depende explicitamente de T_0 nem de T_J, logo as derivadas são zero:
\left.\frac{\partial f_1}{\partial T_0}\right|_{S}=0,\qquad \left.\frac{\partial f_1}{\partial T_J}\right|_{S}=0.
Assim, a linearização do primeiro equacionamento em termos de variações fica:
\frac{d\Delta C_A}{dt} = a_{11}\,\Delta C_A + a_{12}\,\Delta T.

Passo 4

Linearização do segundo equacionamento (balanço de energia). Primeiro escrevemos a equação em forma de \dot{T}:
\frac{d T}{d t} = \frac{F}{V}(T_0 - T) - \frac{\lambda}{\rho C_p}k(T) C_A - \frac{U A}{\rho V C_p}(T - T_J).
Denote f_2(C_A,T,u)=\dfrac{F}{V}(T_0 - T) - \dfrac{\lambda}{\rho C_p}k(T) C_A - \dfrac{U A}{\rho V C_p}(T - T_J).
Calcule as derivadas parciais e avalie em S:
  1. \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial C_A} = -\frac{\lambda}{\rho C_p}k(T). Avaliando em T_S:
a_{21} = \left.\frac{\partial f_2}{\partial C_A}\right|_{S} = -\frac{\lambda}{\rho C_p}k_S.
  1. \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial T} tem três contribuições:
  • de \dfrac{F}{V}(T_0 - T): -\dfrac{F}{V};
  • de -\dfrac{\lambda}{\rho C_p}k(T) C_A: -\dfrac{\lambda C_A}{\rho C_p}\dfrac{dk}{dT};
  • de -\dfrac{U A}{\rho V C_p}(T - T_J): -\dfrac{U A}{\rho V C_p}.
Somando e avaliando em S (usando \dfrac{dk}{dT}=k_S \dfrac{E}{R T_S^{2}}):
a_{22} = -\frac{F}{V} - \frac{\lambda C_{A S}}{\rho C_p}\,k_S\frac{E}{R T_{S}^{2}} - \frac{U A}{\rho V C_p}.
Ou reorganizando:
a_{22} = -\frac{F}{V} - \frac{\lambda E C_{A S} k_S}{\rho C_p R T_{S}^{2}} - \frac{U A}{\rho V C_p}.
  1. Derivadas em relação às entradas T_0 e T_J:
  • \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial T_0} = \frac{F}{V}.
  • \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial T_J} = \frac{U A}{\rho V C_p} (observe o sinal: no termo -\frac{U A}{\rho V C_p}(T - T_J), derivando em relação a T_J obtemos +\frac{U A}{\rho V C_p}).
Portanto a parte de entradas dá:
b_{21} = \frac{F}{V},\qquad b_{22} = \frac{U A}{\rho V C_p}.
Assim a linearização do segundo equacionamento em variações é:
\frac{d\Delta T}{dt} = a_{21}\,\Delta C_A + a_{22}\,\Delta T + b_{21}\,\Delta T_0 + b_{22}\,\Delta T_J.

Passo 5

Escrevendo explicitamente as entradas e recolhendo A e B:
Identificamos as matrizes A (2x2) e B (2x2) avaliadas no ponto de operação:
A:
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\[6pt] a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{F}{V}-k_S & -C_{A S} k_S \dfrac{E}{R T_{S}^{2}} \\[10pt] -\dfrac{\lambda}{\rho C_p}k_S & -\dfrac{F}{V}-\dfrac{\lambda E C_{A S} k_S}{\rho C_p R T_{S}^{2}} - \dfrac{U A}{\rho V C_p} \end{bmatrix}.
B:
B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\[6pt] \dfrac{F}{V} & \dfrac{U A}{\rho V C_p} \end{bmatrix},
onde a ordem dos inputs é u=\begin{bmatrix}\Delta T_0\\[2pt]\Delta T_J\end{bmatrix}.
Aqui k_S = k_0 e^{-E/(R T_S)}.]

Passo 6

Escrever as equações linearizadas em forma canônica (em variações) — que corresponde ao item (a) pedido:
\frac{d\,(C_A - C_{A S})}{dt} = \Big(-\frac{F}{V}-k_S\Big)(C_A - C_{A S}) - \Big(\frac{E C_{A S} k_S}{R T_{S}^{2}}\Big)(T - T_S).
\begin{aligned} \frac{d\,(T - T_S)}{dt} &= -\Big(\frac{\lambda k_S}{\rho C_p}\Big)(C_A - C_{A S}) \\\ &\quad +\Big(-\frac{F}{V} - \frac{\lambda E C_{A S} k_S}{\rho C_p R T_{S}^{2}} - \frac{U A}{\rho V C_p}\Big)(T - T_S) \\\ &\quad + \frac{F}{V}(T_0 - T_{0 S}) + \frac{U A}{\rho V C_p}(T_J - T_{J S}). \end{aligned}
Observação: os dois últimos termos são \;b_{21}\Delta T_0 + b_{22}\Delta T_J\;, ou seja, B\Delta u.

Passo 7

Forma matricial final pedida no item (b) — escrevo a equação de variações e as matrizes A e B explicitando k_S:
\left[\begin{array}{c} \frac{d\,(C_A-C_{A S})}{dt}\\[6pt] \frac{d\,(T-T_S)}{dt} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -\dfrac{F}{V}-k_0 e^{-E/(R T_S)} & -\dfrac{E C_{A S} k_0 e^{-E/(R T_S)}}{R T_{S}^{2}} \\[10pt] -\dfrac{\lambda k_0 e^{-E/(R T_S)}}{\rho C_p} & -\dfrac{F}{V}-\dfrac{\lambda E C_{A S} k_0 e^{-E/(R T_S)}}{\rho C_p R T_{S}^{2}} - \dfrac{U A}{\rho V C_p} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} C_A-C_{A S}\\[6pt] T-T_S \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\[6pt] \dfrac{F}{V} & \dfrac{U A}{\rho V C_p} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} T_0-T_{0 S}\\[6pt] T_J-T_{J S} \end{array}\right].]

Resposta

\frac{d\,(C_A - C_{A S})}{dt} = \Big(-\frac{F}{V}-k_0 e^{-E/(R T_S)}\Big)(C_A - C_{A S}) - \Big(\frac{E C_{A S} k_0 e^{-E/(R T_S)}}{R T_{S}^{2}}\Big)(T - T_S)
\frac{d\,(T - T_S)}{dt} = -\Big(\frac{\lambda k_0 e^{-E/(R T_S)}}{\rho C_p}\Big)(C_A - C_{A S}) +\Big(-\frac{F}{V} - \frac{\lambda E C_{A S} k_0 e^{-E/(R T_S)}}{\rho C_p R T_{S}^{2}} - \frac{U A}{\rho V C_p}\Big)(T - T_S) + \frac{F}{V}(T_0 - T_{0 S}) + \frac{U A}{\rho V C_p}(T_J - T_{J S})
\left[\begin{array}{c} \frac{d\,(C_A-C_{A S})}{dt}\\[6pt] \frac{d\,(T-T_S)}{dt} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -\dfrac{F}{V}-k_0 e^{-E/(R T_S)} & -\dfrac{E C_{A S} k_0 e^{-E/(R T_S)}}{R T_{S}^{2}} \\[10pt] -\dfrac{\lambda k_0 e^{-E/(R T_S)}}{\rho C_p} & -\dfrac{F}{V}-\dfrac{\lambda E C_{A S} k_0 e^{-E/(R T_S)}}{\rho C_p R T_{S}^{2}} - \dfrac{U A}{\rho V C_p} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} C_A-C_{A S}\\[6pt] T-T_S \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\[6pt] \dfrac{F}{V} & \dfrac{U A}{\rho V C_p} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} T_0-T_{0 S}\\[6pt] T_J-T_{J S} \end{array}\right].]

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