a) Linearize em torno do ponto de operação no estado estacionário, o sistema de EDO’s abaixo que descreve um CSTR não isotérmico com volume constante. As variáveis de entrada são \mathrm{T}_{0}, \mathrm{~T}_{\mathrm{J}}, \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0} e F . Considere que \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0} e F são constantes ao longo do tempo.
\begin{aligned} & V \frac{d C_{A}}{d t}=F\left(C_{A 0}-C_{A}\right)-V k C_{A} \\\ & V \rho C_{P} \frac{d T}{d t}=F \rho C_{P}\left(T_{0}-T\right)-\lambda V k C_{A}-U A\left(T-T_{J}\right) \\\ & \text { onde } k=k_{0} e^{\frac{-E}{R T}} \end{aligned}
R: \frac{F}{V}\left(T_{0}-T_{0 S}\right)+\frac{U A}{\rho V C_{p}}\left(T_{J}-T_{J S}\right)
b) Reescreva o sistema linearizado no item a) na forma matricial
Linearizar, em torno do ponto de operação no estado estacionário, o sistema de EDO’s de um CSTR não isotérmico com volume constante; as variáveis de entrada são T_{0}, T_{J}, C_{A0} e F. Foi indicado considerar C_{A0} e F constantes ao longo do tempo, ou seja, apenas T_{0} e T_{J} serão tratadas como entradas dinâmicas nas pequenas variações.
Reescrever o sistema linearizado na forma matricial do tipo \Delta \dot{x} = A \Delta x + B \Delta u.
Informações e equações dadas (copiadas do enunciado):
\begin{aligned} & V \frac{d C_{A}}{d t}=F\left(C_{A0}-C_{A}\right)-V k C_{A},\\[4pt] & V \rho C_{P} \frac{d T}{d t}=F \rho C_{P}\left(T_{0}-T\right)-\lambda V k C_{A}-U A\left(T-T_{J}\right),\\[4pt] & \text{onde } k=k_{0} e^{\frac{-E}{R T}}. \end{aligned}
Ponto de operação (estado estacionário) designado por subscrito S:
C_{A S}, T_{S}, T_{0 S}, T_{J S} satisfazem as equações de equilíbrio (derivadas iguais a zero).
Vamos trabalhar com pequenas variações em torno desse ponto: \Delta C_A = C_A - C_{A S}, \Delta T = T - T_S, \Delta T_0 = T_0 - T_{0 S}, \Delta T_J = T_J - T_{J S}.
Observação importante (dada no enunciado): considerar C_{A0} e F constantes no tempo para a linearização como entradas efetivamente invariantes.
A resolução a partir daqui começa no próximo passo.]
Passo 2
Estratégia de linearização e conceitos usados (explicação didática curta e prática):
Quando temos um sistema não linear \dot{x}=f(x,u), a linearização em torno de um ponto de equilíbrio (x_S,u_S) usa a aproximação por série de Taylor de primeira ordem:
\Delta\dot{x} \approx \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_S,u_S)}\Delta x + \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(x_S,u_S)}\Delta u.
As matrizes \displaystyle A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(S)} e \displaystyle B=\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(S)} são chamadas de jacobianas avaliadas no ponto de operação.
Vamos identificar x = \begin{bmatrix}C_A\\[2pt] T\end{bmatrix} e u = \begin{bmatrix}T_0\\[2pt] T_J\end{bmatrix} (já que C_{A0} e F são constantes).
Precisamos calcular todas as derivadas parciais \partial f_i/\partial x_j e \partial f_i/\partial u_j avaliadas em C_{A S},T_S,T_{0S},T_{J S}.
Antes de derivar, calculemos a derivada de k(T), que aparece em várias parcelas:
Derivações em relação às entradas T_0 e T_J: neste primeiro equacionamento f_1 não depende explicitamente de T_0 nem de T_J, logo as derivadas são zero:
\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial T_J} = \frac{U A}{\rho V C_p} (observe o sinal: no termo -\frac{U A}{\rho V C_p}(T - T_J), derivando em relação a T_J obtemos +\frac{U A}{\rho V C_p}).
Portanto a parte de entradas dá:
b_{21} = \frac{F}{V},\qquad b_{22} = \frac{U A}{\rho V C_p}.
Assim a linearização do segundo equacionamento em variações é: