Determine a solução geral do problema de valor inicial
R:
Passo 1
O problema pede resolver o problema de valor inicial dado pelo sistema
ou seja, encontrar as funções
e
que satisfazem o sistema e as condições iniciais.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
Informações relevantes que extraí do enunciado:
e o sistema pode ser escrito de forma vetorial como
Passo 2
Vou primeiro resolver o sistema homogêneo associado
. Aqui usamos a ideia de que soluções do tipo
aparecem quando
e
satisfazem
(isto é,
é valor próprio e
é autovetor). Calculamos os autovalores resolvendo o polinômio característico:
Calculemos:
Desenvolvendo,
Então os autovalores são raízes de
. Fatorando,
logo
Passo 3
Agora encontramos os autovetores correspondentes.
Para
resolvemos
:
Da primeira linha
, então
. Tomando
obtemos um autovetor
Para
resolvemos
:
Da primeira linha
, então
. Tomando
obtemos
Como os autovalores são distintos, a solução geral do homogêneo é combinação linear:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais quando incluirmos a parte particular.]
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
onde
é um vetor constante a ser encontrado. Explicação rápida: se
então
. Substituindo no sistema obtemos
Cancelando
(que nunca é zero) resulta a equação linear para
:
ou seja
Calculemos
:
Se
, as equações resultantes são
Da primeira:
. Da segunda:
então
. Assim
e a solução particular é
Observação didática: aqui funcionou escolher
porque
não é solução do homogêneo (os autovalores do homogêneo são
e
, não
). Se
fosse autovalor de
teríamos que multiplicar a ansatz por
(ou por potência de
) — é a mesma ideia que em ODEs escalares.]
Passo 5
A solução geral do sistema é soma da homogênea com a particular:
Escrevendo as componentes:
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais
Isto dá o sistema para
:
Simplificando:
Da segunda dividimos por
. Somando com a primeira:
Logo
. Então
.]
Passo 7
Substituindo
e
nas expressões das componentes obtemos as soluções explícitas:
Para
:
Para
:
Você pode conferir rapidamente que essas funções satisfazem as condições iniciais e o sistema substituindo-as de volta (checar derivadas e o lado direito).