O balanço molar para a espécie A numa reação não isotérmica, irreversível de ordem n, ocorrendo a volume constante num CSTR é dada por:
\frac{d C_{A}}{d t}=\frac{F_{0} C_{A 0}}{V}-\frac{F_{0} C_{A}}{V}-C_{A}^{n} k_{0} e^{\frac{-E}{R T}}
Linearize o modelo em torno do ponto de operação no estado estacionário considerando \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=\mathrm{C}_{\mathrm{AOS}}, \mathrm{C}_{\mathrm{A}}=\mathrm{C}_{\mathrm{AS}}, \mathrm{F}_{0}=\mathrm{F}_{0 \mathrm{~S}}, \mathrm{~T}=\mathrm{T}_{\mathrm{S}}
\begin{aligned} & \mathrm{R}: \frac{d C_{A}}{d t}=\left[-\frac{F_{0 S}}{V}-n C_{A S}^{n-1} k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}\right]\left(C_{A}-C_{A S}\right)-\frac{E C_{A S}^{n} k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}}{R T_{S}^{2}}\left(T-T_{S}\right)+ \\\ & \quad \frac{F_{0 S}}{V}\left(C_{A 0}-C_{A 0 S}\right)+\frac{C_{A 0 S}-C_{A S}}{V}\left(F_{0}-F_{0 S}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para linearizar o balanço molar de A num CSTR em torno de um ponto de operação em regime estacionário. As informações e condições dadas são:
\frac{d C_{A}}{d t}=\frac{F_{0} C_{A0}}{V}-\frac{F_{0} C_{A}}{V}-C_{A}^{n} k_{0} e^{\frac{-E}{R T}}
Ponto de operação (estado estacionário) e igualdades fornecidas:
C_{A0}=C_{A0S},\quad C_{A}=C_{AS},\quad F_{0}=F_{0S},\quad T=T_{S}.
O que se pede explicitamente: obter a forma linearizada do modelo em torno desse ponto de operação, ou seja, escrever a variação temporal das pequenas perturbações em C_{A} como combinação linear das pequenas perturbações em C_{A}, T, F_{0} e C_{A0}.

Passo 2

Definimos as pequenas perturbações (variações) em torno do ponto de operação — isso é padrão em linearização por expansão de Taylor de primeira ordem:
\Delta C_{A}=C_{A}-C_{AS},\quad \Delta T=T-T_{S},\quad \Delta F_{0}=F_{0}-F_{0S},\quad \Delta C_{A0}=C_{A0}-C_{A0S}.
A ideia: a dinâmica dos desvios é dada, em primeira aproximação, por uma soma das derivadas parciais da função do lado direito avaliadas no ponto de operação vezes cada desvio. Formalmente, se chamarmos o lado direito de
f(C_{A},T,F_{0},C_{A0})=\frac{F_{0} C_{A0}}{V}-\frac{F_{0} C_{A}}{V}-C_{A}^{n} k_{0} e^{\frac{-E}{R T}},
então a linearização em torno do ponto de operação é
\Delta\dot C_{A}=\left.\frac{\partial f}{\partial C_{A}}\right|_{S}\Delta C_{A}+\left.\frac{\partial f}{\partial T}\right|_{S}\Delta T+\left.\frac{\partial f}{\partial F_{0}}\right|_{S}\Delta F_{0}+\left.\frac{\partial f}{\partial C_{A0}}\right|_{S}\Delta C_{A0}.
Vou calcular agora cada derivada parcial e avaliá‑la no ponto S. Lembre-se: \Delta\dot C_A é a derivada temporal da perturbação, ou seja, \Delta\dot C_A=\frac{d}{dt}(C_A-C_{AS})=\frac{dC_A}{dt} porque C_{AS} é constante.

Passo 3

Calculemos \displaystyle\frac{\partial f}{\partial C_{A}}.
A função f tem dois termos que dependem de C_{A}: -\dfrac{F_{0}C_{A}}{V} e -C_{A}^{n}k_{0}e^{-E/(R T)}.
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial C_{A}}\left(-\frac{F_{0}C_{A}}{V}\right)=-\frac{F_{0}}{V}.
Para o outro termo usamos a regra da potência:
\frac{\partial}{\partial C_{A}}\left(-C_{A}^{n}k_{0}e^{-E/(R T)}\right)=-n C_{A}^{\,n-1}k_{0}e^{-E/(R T)}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial C_{A}}=-\frac{F_{0}}{V}-n C_{A}^{\,n-1}k_{0}e^{-E/(R T)}.

Passo 4

Calculemos \displaystyle\frac{\partial f}{\partial T}.
Apenas o termo -C_{A}^{n}k_{0}e^{-E/(R T)} depende de T. Aplicamos a regra da cadeia para a exponencial e^{g(T)} com g(T)=-\dfrac{E}{R T}. Primeiro calculamos g'(T):
g(T)=-\frac{E}{R T}\quad\Rightarrow\quad g'(T)=\frac{E}{R T^{2}}.
Logo,
\frac{\partial}{\partial T}\left(-C_{A}^{n}k_{0}e^{-E/(R T)}\right)=-C_{A}^{n}k_{0}e^{-E/(R T)}\cdot\frac{E}{R T^{2}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial T}=-\frac{E\,C_{A}^{n}k_{0}e^{-E/(R T)}}{R T^{2}}.

Passo 5

Calculemos \displaystyle\frac{\partial f}{\partial F_{0}} e \displaystyle\frac{\partial f}{\partial C_{A0}}.
A partir da definição de f:
\frac{\partial}{\partial F_{0}}\left(\frac{F_{0}C_{A0}}{V}-\frac{F_{0}C_{A}}{V}\right)=\frac{C_{A0}}{V}-\frac{C_{A}}{V}.
E
\frac{\partial f}{\partial C_{A0}}=\frac{F_{0}}{V}.

Passo 6

Agora avaliamos cada derivada no ponto de operação (substituir C_{A}\to C_{AS}, T\to T_{S}, F_{0}\to F_{0S}, C_{A0}\to C_{A0S}):
\left.\frac{\partial f}{\partial C_{A}}\right|_{S}=-\frac{F_{0S}}{V}-n C_{AS}^{\,n-1}k_{0}e^{-E/(R T_{S})},
\left.\frac{\partial f}{\partial T}\right|_{S}=-\frac{E\,C_{AS}^{n}k_{0}e^{-E/(R T_{S})}}{R T_{S}^{2}},
\left.\frac{\partial f}{\partial F_{0}}\right|_{S}=\frac{C_{A0S}}{V}-\frac{C_{AS}}{V}=\frac{C_{A0S}-C_{AS}}{V},
\left.\frac{\partial f}{\partial C_{A0}}\right|_{S}=\frac{F_{0S}}{V}.

Passo 7

Montamos a linearização usando a fórmula do Passo 2 com as derivadas avaliadas:
\Delta\dot C_{A}=\left(-\frac{F_{0S}}{V}-n C_{AS}^{\,n-1}k_{0}e^{-E/(R T_{S})}\right)\Delta C_{A}-\frac{E\,C_{AS}^{n}k_{0}e^{-E/(R T_{S})}}{R T_{S}^{2}}\Delta T
\qquad\qquad+\frac{F_{0S}}{V}\Delta C_{A0}+\frac{C_{A0S}-C_{AS}}{V}\Delta F_{0}.
Voltando das variações para as diferenças reais (isto é, \Delta C_{A}=C_{A}-C_{AS}, etc.) obtemos a forma pedida no enunciado.

Resposta

\begin{aligned} & \frac{d C_{A}}{d t}=\left[-\frac{F_{0 S}}{V}-n C_{A S}^{n-1} k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}\right]\left(C_{A}-C_{A S}\right)-\frac{E C_{A S}^{n} k_{0} e^{\frac{-E}{R T_{S}}}}{R T_{S}^{2}}\left(T-T_{S}\right)+ \\\ & \quad \frac{F_{0 S}}{V}\left(C_{A 0}-C_{A 0 S}\right)+\frac{C_{A 0 S}-C_{A S}}{V}\left(F_{0}-F_{0 S}\right) \end{aligned}

Exercícios relacionados